Diferenciabilidad

Existen tres formas de saber si una función de múltiples variables es diferenciable:

     \(1.\) Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en dicho punto.

     \(2.\) Si una función es diferenciable en un punto, entonces posee derivadas parciales en dicho punto. 

     \(3.\) Si \(\frac{\partial f}{\partial x} \text { y } \frac{\partial f}{\partial y}\) existen y son continuas en un punto, entonces la función es diferenciable en ese punto. 

¡Cuidado! ¡Las recíprocas de este teorema son falsas!

Con esto queremos decir que si una función es continua en un punto, eso no implica que sea diferenciable en ese punto. Lo mismo sucede con las derivadas parciales. ¡Y si es diferenciable, sus derivadas parciales no necesariamente son continuas!

Sin embargo, presta atención a esto: podemos interpretar ese teorema de otra forma. Considerando una función en un cierto punto, tenemos:

     \(1.\) Si no es continua, no es diferenciable.

     \(2.\) Si no posee derivadas parciales, no es diferenciable.

     \(3.\) Si no es diferenciable, entonces las derivadas parciales no son continuas (pero pueden existir). 

El primer enunciado es super importante porque nos ayudará a resolver problemas de forma sencilla:

Por ejemplo, la siguiente función \(f\), ¿es diferenciable en su origen?

\[f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}{\frac{x}{x+y}} & {\text { si }(x, y) \neq(0,0)} \\ {0} & {\text { si }(x, y)=(0,0)}\end{array}\right.\]

Lo primero que tenemos que hacer es probar la continuidad de la función.

Para que sea continua en el origen, debemos tener:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=f(0,0) \Rightarrow \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x}{x+y}=0\]

Más fácil que calcular el límite, vamos a probar que este no existe. Esto se debe a que no posee una expresión como la del teorema del Sandwich y el grado del numerador es igual al grado del denominador \((1)\).

Si intentamos calcular el límite a través de \(x=0\) y luego por \(y=0\), obtendremos resultados diferentes, por lo que el límite no existe.

Por tanto, la función no es continua en el origen. Y al no ser continua, tampoco es diferenciable en ese punto.

Ahora bien, si el límite existe, la función será continua y diferenciable.

Por lo general, el procedimiento será: 

     \(1.\) Demostrar que el límite de la función por partes no existe.

     \(2.\) Demostrar que la función no es contínua ni diferenciable en ese punto. 

Bastante sencillo. ¡Eso es todo amigos, vamos a los ejercicios!