Vector Gradiente
¿Cómo se calcula?
El vector gradiente, representado por \(\nabla f(x, y)\), de una función \(f(x, y)\) es el vector cuyas coordenadas son las derivadas parciales de la función \(f\) con respecto a \(x\) y \(y\), es decir:
\[\nabla f(x, y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\]
Como puedes ver, ahora tenemos dos coordenadas. Esto quiere decir que cuando tengamos una función, al hacer las derivadas parciales en función de \(x\) y \(y\), colocaremos la primera en la coordenada de \(x\), mientras que la segunda en la coordenada de \(y\).
Y lo mismo aplica para todas las variables que queramos. Sin embargo, en este caso solo trabajaremos con \(2\) y \(3\) variables. Entonces, para \(f(x, y, z)\) el vector de gradiente es:
\[\nabla f(x, y, z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\]
¿Entendido? Vamos a practicar:
\[f(x, y)=x^{2} y^{3}\]
\[\nabla f(x, y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)=\left(2 x y^{3}, 3 x^{2} y^{2}\right)\]
Si queremos calcular el valor del vector de gradiente en un punto \(P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)\) solo tenemos que sustituir el punto en la expresión del vector.
Por tanto, para \(P_{0}=(1,2)\), el vector de gradiente será:
\[\nabla f(1,2)=\left(2.1 .2^{3}, 3.1^{2} \cdot 2^{2}\right)=(16,12)\]
Sencillo, ¿no?
Y para hacerlo aún más sencillo, veamos las propiedades del vector gradiente, las cuales serán de mucha utilidad.
Propiedades del vector gradiente
Sean \(f\) y \(g\) las funciones cuyos gradientes son, respectivamente:
\[\nabla f(x, y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\]
\[\nabla g(x, y)=\left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right)\]
Y \(k\) una constante cualquiera. Entonces:
\(a.\) \(\nabla(k f)=k \nabla f\)
\(b.\) \(\nabla(f \pm g)=\nabla f \pm \nabla g\)
\(c\) \(\nabla(f g)=g \nabla f+f \nabla g\)
\(d\) \(\nabla\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g \nabla f-f \nabla g}{g^{2}}\)
¡Y eso es todo! Las propiedades sirven para calcular los gradientes de funciones las cuales no conocemos su expresión, a partir de los gradientes que si conocemos.
Es decir, no necesitamos saber las expresiones de \(f\) o \(g\). Solo necesitamos saber cuáles son sus gradientes.
Interpretación geométrica del vector gradiente
Tiene un nombre complicado, pero el concepto es super sencillo.
La interpretación geométrica del vector gradiente viene dada el siguiente teorema:
“El vector de gradiente de \(f\) en el punto \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) es perpendicular a la curva de nivel de \(f\) que contiene el punto \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\), es decir, la curva de nivel \(f\left(x_{0}, y_{0}\right)=k\).”
Imagina esta función:
\[f(x, y)=2 x^{2}+y\]
Un vector normal a la curva de nivel que pasa por el punto \((1,2)\) es dado por el gradiente de \(f(x, y)\), calculado en el punto \((1,2)\), es decir:
\[\nabla f(1,2)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(1,2), \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)\right)=(4 x, 1)=(4.1,1)=(4,1)\]
Listo, el vector \(\vec{v}=(4,1)\) es perpendicular a la curva de nivel dada.
Consejo: si te piden que calcular el vector normal a la superficie, te están pidiendo el vector gradiente.
Para ello, simplemente tenemos que separar las constantes de las variables, así:
\[f(x, y, z)=k\]
Entonces, para la superficie \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=2+2 y\), tenemos que:
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y=2 \rightarrow f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y\]
Y calculamos el gradiente de \(f(x, y, z)\)
\[\nabla f(x, y, z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)=(2 x, 2 y-2,2 z)\]
¡Y ese será el vector normal a la superficie!
Visualización geométrica del vector gradiente
En el ejemplo de la función \(f(x, y)=2 x^{2}+y\), ya teníamos el punto
\(C=(1,2)\)
Es decir, el vector gradiente sería el vector perpendicular a la curva de nivel.
\[2 x^{2}+y=f(1,2)=f(C)=4\]
En el punto \(C\). El vector perpendicular resultante del ejemplo fue:
\[\nabla f(1,2)=(4,1)\]
Veamos que sucede geométricamente. Tenemos que trazar el gráfico de la curva de nivel, el punto \(C\) y el vector de gradiente que sale de dicho punto:
En el ejemplo de una \(1\) superficie, tenemos:
\(\bullet\) Ecuación de la Superficie \(\rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=2+2 y\)
\(\bullet\) Punto de la Superficie \(\rightarrow C=(x, y, z)\)
\(\bullet\) Vector Normal en el Punto \(C\) \(\rightarrow \nabla f(x, y, z)=(2 x, 2 y-2,2 z)\)
Vamos a elegir cualquier punto \(C\) de la superficie, digamos \(C=(1,0,1)\). Veamos cómo se verá el vector normal en ese punto:
\[\nabla f(1,0,1)=(2.1,2.0-2,2.1)\]
\[\nabla f(1,0,1)=(2,-2,2)\]
Y para terminar, vamos a dibujar la superficie, el punto \(C\) elegido y el vector gradiente.
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