Derivadas Direccionales

Anteriormente, aprendimos a calcular las derivadas parciales respecto de \(x\) y \(y\), ¿verdad? En otras palabras, sabemos cómo calcular la derivada de una función de \(2\) variables en la dirección \((1,0)\) (dirección del eje \(x\)) y en la dirección \((0,1)\) (dirección del eje \(y\)).

Genial, pero ¿si quisiéramos calcular la derivada en la dirección \((1,1)\), por ejemplo?

Para eso sirven las derivadas direccionales, porque permiten calcular la derivada en cualquier dirección.

Pero, ¿cómo se calcula?

¡Es simple! La derivada de una función de varias variables \(f\) en la dirección del vector \(u\) en un punto \(P_{0}\) viene dada por la siguiente ecuación:

\[\frac{\partial f}{\partial u}\left(P_{0}\right)=\nabla f\left(P_{0}\right) \cdot \frac{u}{\|u\|}\]

Es decir: la derivada direccional de la función \(f\) en la dirección del vector \(u\) en el punto \(P_{0}\) es el producto escalar entre el vector gradiente de esta función en \(P_{0}\) y el vector unitario de la dirección del vector \(u\) (esta "u" es el módulo del vector \(u\))

Observa que para \(u=(1,0)\) (dirección del eje \(x\)):

\[\|u\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1\]

\[\frac{\partial f}{\partial u}\left(P_{0}\right)=\nabla f\left(P_{0}\right) \cdot \frac{u}{\|u\|}\]

\[\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial u}\left(P_{0}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\left(P_{0}\right), \frac{\partial f}{\partial y}\left(P_{0}\right)\right) \cdot \frac{(1,0)}{1}\]

\[\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial u}\left(P_{0}\right)=(1)\left(\frac{\partial f}{\partial x}\left(P_{0}\right)\right)+(0)\left(\frac{\partial f}{\partial y}\left(P_{0}\right)\right)\]

\[\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial u}\left(P_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(P_{0}\right)\]

Justo lo que esperábamos, ¿verdad? ¡Esta es la derivada de la función en la dirección del eje \(x !\)

De hecho, en este caso consideramos que \(f\) es una función de 2 variables, pero la fórmula también se aplica a funciones con más variables, ¿de acuerdo?

¡Veamos un ejemplo! Calculemos la derivada direccional de la función \(f(x, y)=x e^{-2 y}\) en el punto \(P=(1,-1)\) en la dirección del vector \(v=(0,2)\) :

Vamos a comenzar calculando el vector gradiente de la función \(f\):

\[f_{x}(x, y)=e^{-2 y}\]

\[f_{y}(x, y)=-2 x e^{-2 y}\]

\[\Rightarrow \nabla f(x, y)=\left(e^{-2 y},-2 x e^{-2 y}\right)\]

Entonces, en el punto \(P\), el gradiente es:

\[\nabla f(1,-1)=\left(e^{2},-2 e^{2}\right)\]

Bien, ahora calculemos el módulo del vector \(v\): \(v=(0,2)\)

\[\Rightarrow\|v\|=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2\]

Ahora sólo resta aplicar la fórmula:

\[\frac{\partial f}{\partial v}(P)=\nabla f(P) \cdot \frac{v}{\|v\|}\]

Sustituyendo los valores encontrados:

\[\frac{\partial f}{\partial v}(P)=\left(e^{2},-2 e^{2}\right) \cdot \frac{(0,2)}{2}\]

\[\frac{\partial f}{\partial v}(P)=\left(e^{2},-2 e^{2}\right) \cdot(0,1)=0\left(e^{2}\right)-2 e^{2}\]

\[\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial v}(P)=-2 e^{2}\]

Así que esta es la derivada direccional que queríamos ¿Ven lo fácil que es?

De todos modos, no todo es tan lindo como parece. La fórmula no funciona siempre: sólo podemos usarla cuando la función es diferenciable.

Pero, por lo general, no tendrán que probar la diferenciabilidad de una función, así que no tienen que preocuparse demasiado. Pero, cuando vean una función medio loca, de la que desconfíen un poco, tendrán que  calcular la derivada direccional por definición.

Por definición siempre es válido, después de todo es una definición.

Sólo hagan:

\[\frac{\partial f}{\partial u}\left(P_{0}\right)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(P_{0}+t u\right)-f\left(P_{0}\right)}{t\|u\|}\]

Entonces, si calculas la derivada direccional por la definición, y también por la fórmula del producto escalar, y los valores son diferentes, es porque la función no es diferenciable en ese punto (y el valor correcto es el de la definición).

Veamos un ejemplo:

\[f(x, y, z)=\sqrt[3]{x^{3}+x y^{2}+x z^{2}}\]

Calculemos la derivada direccional de \(f\) en el punto \((0,0,0)\) y en la dirección del vector \(u=(1,1,1)\).

Usando la regla de la cadena, la derivada parcial con respecto a \(x\) es:

\[f_{x}(x, y, z)=\frac{1}{3}\left(x^{3}+x y^{2}+x z^{2}\right)^{-\frac{2}{3}}\left(3 x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\]

Sustituyendo en el punto \((0,0,0)\):

\[f_{x}(0,0,0)=\frac{1}{3}(0)^{-\frac{2}{3}}(0)\]

¡Pero llegamos a un problema porque no podemos tener un cero con exponente negativo! ¿Por qué? Por esto:

\[0^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{0^{\frac{2}{3}}}\]

Por tanto, la derivada parcial de \(f\) con respecto a \(x\) tiene una discontinuidad en el origen. ¡Y de hecho las otras derivadas parciales también tendrán este problema!

Entonces, para esta función, no podemos aplicar la fórmula del producto escalar para calcular una derivada direccional en el origen. Por eso tenemos que apelar a la definición:

\[\frac{\partial f}{\partial u}\left(P_{0}\right)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(P_{0}+t u\right)-f\left(P_{0}\right)}{t\|u\|}\]

En ese caso tenemos tenemos:

\[\left\{\begin{array}{c}{f(x, y, z)=\sqrt[3]{x^{3}+x y^{2}+x z^{2}}} \\ {P_{0}=(0,0,0)} \\ {u=(1,1,1) \Rightarrow t u=(t, t, t)}\end{array}\right.\]

El módulo de \(u\) es:

\[\|u\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}\]

Por lo tanto nuestro límite será:

\[\frac{\partial f}{\partial u}(0,0,0)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(0+t, 0+t, 0+t)-f(0,0,0)}{\sqrt{3} t}\]

\[=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(t, t, t)-f(0,0,0)}{\sqrt{3} t}\]

Tenemos

\[\left\{\begin{aligned} f(t, t, t)=\sqrt[3]{t^{3}+t\left(t^{2}\right)+t\left(t^{2}\right)} &=\sqrt[3]{3 t^{3}} \\ f(0,0,0)=\sqrt[3]{0+0+0}=0 \end{aligned}\right.\]

Por tanto,

\[\frac{\partial f}{\partial u}(0,0,0)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{3 t^{3}}}{\sqrt{3} t}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{t^{3}}}{t}\]

\[=\lim _{t \rightarrow 0} 3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right) \frac{t}{t}=3^{-\frac{1}{6}}\]

Ese es el valor de la derivada direccional.

¡No olvides practicar en los ejercicios!