Derivadas Parciales

Ya sabemos derivar funciones de \(1\) variable. En esta ocasión aprenderemos a derivar funciones de múltiples variables:

Si tenemos la siguiente función:

\[f(x, y)=x y^{3}+3 x^{2} y+e^{x y}\]

Y queremos calcular su derivada, ¿cómo creen que deberíamos hacerlo? ¿Será distinto en comparación con las ecuaciones de una variable?

En realidad no tiene mucha dificultad, así que no te preocupes: cuando tenemos una función de más de una variable, tenemos que usar el concepto de derivadas parciales para derivarla.

Entonces, primero derivamos con respecto a una variable, por ejemplo \(x\) y consideramos a \(y\) como una constante.

Luego vamos a derivar con respecto a \(y\) tomando a \(x\) como constante. 

Es decir, derivamos la función, que tiene múltiples variables, en relación a una de ellas a la vez.

Y luego derivamos normalmente, como siempre lo hemos hecho a lo largo de nuestras hermosas vidas, con todas las reglas de derivación que hemos aprendido, sólo que en relación a la variable de interés.

¡Y eso es todo! ¿Ves? Super sencillo. 

En el caso del ejemplo, como solo tenemos dos variables, tendremos una derivada parcial con respecto a \(x\) y una con respecto a \(y\).

La notación es la siguiente: 

Derivada parcial de \(f(x, y)\) con respecto a \(x\):

\[\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=f_{x}(x, y)\]

Nota: observen que ahora ya no hay una “f prima”. Ahora hay un x subíndice que marca que es una derivada parcial en función de \(x\). Lo mismo será para \(y\).

Derivada parcial de \(f(x, y)\)  con respecto a \(y\):

\[\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=f_{y}(x, y)\]

La teoría estuvo interesante, pero ¿qué te parece si resolvemos un ejercicio?

Para calcular las derivadas parciales de la siguiente función 

\[f(x, y)=x y^{3}+3 x^{2} y+e^{x y}\]

Consideramos \(y\) constante y tenemos la derivada parcial con respecto a \(x\):

\[\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=f_{x}(x, y)=1 . y^{3}+3.2 x y+e^{x y} \cdot y=y^{3}+6 x y+y e^{x y}\]

Y, de forma similar, consideramos \(x\) constante y tenemos la derivada parcial con respecto a \(y\):

\[\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=f_{y}(x, y)=x \cdot 3 y^{2}+3 x^{2} \cdot 1+e^{x y} \cdot x=3 x y^{2}+3 x^{2}+x e^{x y}\]

Nota: no olvides que en la derivada parcial de \(y\), \(e^{x}\) es una constante.

¡Vamos a los ejercicios!