¿En qué Dirección Crece Más Rápido la Derivada Direccional?

Con las derivadas direccionales, vimos que podemos estudiar la tasa de variación de una función en la dirección de cualquier vector. Es decir, cuánto crece una función en dicha dirección.

Entonces, podríamos preguntarnos: ¿en qué dirección la función crece más rápido?

La respuesta es super simple: la función crece más rápido en la dirección del vector gradiente.

¿Un poco loco? ¡No lo es! Vimos que la derivada direccional viene dada por:

\[\frac{\partial f}{\partial u}\left(P_{0}\right)=\nabla f\left(P_{0}\right) \cdot \frac{u}{\|u\|}\]

¿Pero cuándo un producto escalar es máximo? Cuando los vectores apuntan en la misma dirección, es decir, en la dirección del gradiente.

Por lo tanto, la derivada direccional de la función \(f(x, y)\) en la dirección de un vector u es máxima si u es el gradiente de la misma función:

\[u=\nabla f(x, y) \Leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial u}(x, y)=\max\]

Y la tasa de variación es el módulo del gradiente:

\[\text {tasa máxima}=\|\nabla f(x, y)\|\]

También podríamos preguntarnos ¿en qué dirección es la disminución máxima? Bueno, la respuesta será en la dirección del vector \(-\nabla f(x, y)\)

Veamos un ejemplo:

\[f(x, y)=3+x y-x^{2}-y^{2}\]

Descubramos en qué dirección la tasa de variación de \(f\) es máxima desde el punto \((1,2)\).

Para eso sólo tenemos que calcular el gradiente:

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=y-2 x\]

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=x-2 y\]

En el punto \((1,2)\):

\[\nabla f(1,2)=(2-2,1-4)=(0,-3)\]

Por lo tanto, la función crece más rápido en la dirección del vector \((0,-3)\). Observa que la coordenada \(x\) es nula y la coordenada \(y\) es negativa. 

Entonces podemos decir que la función crece más rápido en la dirección negativa del eje \(y\).

La tasa de crecimiento está dada por:

\[\|\nabla f(1,2)\|=\sqrt{0^{2}+(-3)^{2}}=3\]

Y para conocer la dirección \(/\) tasa de disminución más rápida, simplemente invierte los resultados. Es decir, la función disminuye más rápido en la dirección del vector \((0,3)\) (o \((0,1),(0, \pi)\), eje \(y\), o cualquiera), y la tasa de disminución es \(-\|\nabla f(1,2)\|=-3\).

Como siempre, es un tema sencillo. ¡Suerte con los ejercicios!