Multiplicadores de Lagrange - Dos Restricciones

En esta ocasión aprenderemos a determinar los extremos de una función de \(3\) variables con \(2\) restricciones. Cada restricción es una ecuación de superficie. Por tanto, \(2\) restricciones definirán la curva de intersección de las \(2\) superficies. Y, encima dicha curva será donde buscaremos los extremos de la función.

Prácticamente hablando será similar a los que hemos visto, solo que tendremos un sistema más grande y complejo, pero si aprendiste bien, sabrás que hacer ¡Comencemos!

Además de la restricción \(g(x, y, z)=0\), tendremos otra: \(h(x, y, z)=0\). Por tanto, necesitaremos un multiplicador más y, la ecuación será:

\[\nabla f(x, y, z)=\lambda \nabla g(x, y, z)+\mu \nabla h(x, y, z)\]

Los pasos a seguir son:

    \(1.\) Calcular el gradiente de la función: \(\nabla f\)

    \(2.\) Despejar las ecuaciones de superficie dejando al cero del lado derecho

     \(3.\) Definir la función \(g(x, y, z)\) y \(h(x, y, z)\)  siendo el lado izquierdo de las ecuaciones anteriores.

     \(4.\) Calcular el gradiente de \(g\) y \(h\)

     \(5.\) Usar el multiplicador de Lagrange: \(\nabla f=\lambda \nabla g+\mu \nabla h\)

     \(6.\) Agregar la ecuación de superficie al sistema hallado anteriormente.

     \(7.\) Resolver el sistema.

     \(8.\) Sustituir los puntos encontrados y verificar cuáles son los puntos máximos y mínimos.

Básicamente es lo mismo solo que con un sistema más grande. 

Vamos a hallar los puntos máximos y mínimos de \(f(x, y, z)=x+y\) sobre la curva de intersección del cilindro \(x^{2}+z^{2}=4\) con el plano \(2 x-3 y+z=6\).

Para eso, vamos a calcular los gradientes de las funciones \(f, g\) y \(h\).

\[\nabla f(x, y, z)=(1,1,0)\]

Para definir \(g\) y \(h\), vamos a despejar las ecuaciones de superficie dejando al cero del lado derecho:

\[g(x, y, z)=x^{2}+z^{2}-4=0\]

\[h(x, y, z)=2 x-3 y+z-6=0\]

Así:

\[\nabla g(x, y, z)=(2 x, 0,2 z)\]

\[\nabla h(x, y, z)=(2,-3,1)\]

Usando el multiplicador de Lagrange:

\[\nabla f(x, y, z)=\lambda \nabla g(x, y, z)+\mu \nabla h(x, y, z)\]

\[(1,1,0)=\lambda(2 x, 0,2 z)+\mu(2,-3,1)\]

Igualando término a término y agregando las ecuaciones de superficie, obtenemos el siguiente sistema:

\[\left\{\begin{array}{r}{1=2 x \lambda+2 \mu} \\ {1=-3 \mu} \\ {\mu=-2 z \lambda} \\ {x^{2}+z^{2}=4} \\ {2 x-3 y+z=6}\end{array}\right.\]

Por la ecuación \((2)\):

\[\mu=-\frac{1}{3}\]

Sustituyéndolo en la ecuación \((3)\), encontramos:

\[\lambda=\frac{1}{6 z}\]

Colocando los dos resultados en la ecuación \((1)\), encontramos:

\[x=5 z\]

Sustituyendo en la ecuación \((4)\), tenemos:

\[z=\pm \frac{2}{\sqrt{26}}\]

Vamos a sustituir \(z=\frac{2}{\sqrt{26}}\) en \((5)\):

\[2 x-3 y+z=6\]

Recordando que \(x=5 z\). Entonces, en ese caso, \(x=\frac{10}{\sqrt{26}}\). Así, de la ecuación \((5)\), tenemos:

\[y=\frac{22}{3 \sqrt{26}-2}\]

Por tanto, obtenemos un primer punto:

\[P_{1}=\left(\frac{10}{\sqrt{26}}, \frac{22}{3 \sqrt{26}}-2, \frac{2}{\sqrt{26}}\right)\]

Sus valores son un poco raros ¿no?

Todavía tenemos el caso \(z=-\frac{2}{\sqrt{26}}\), que nos da \(x=-\frac{10}{\sqrt{26}}\) y que en la ecuación \((5)\) es:

\[y=-\frac{22}{3 \sqrt{26}}-2\]

Y así obtenemos un nuevo punto:

\[P_{2}=\left(-\frac{10}{\sqrt{26}},-\frac{22}{3 \sqrt{26}}-2,-\frac{2}{\sqrt{26}}\right)\]

¡Ya casi terminamos!

Para saber cuál de estos puntos son los extremos, simplemente calcularemos los valores de la función \(f\) para cada uno de ellos. Al hacerlo, tenemos que:

\[f\left(P_{1}\right)=\frac{52}{3 \sqrt{26}}-2\]

Y

\[f\left(P_{2}\right)=-\frac{52}{3 \sqrt{26}}-2\]

Por tanto, el valor máximo de \(f\) con las \(2\) restricciones es \(\frac{52}{\sqrt{26}}-2\), obtenido en el punto \(\left(\frac{10}{\sqrt{26}}, \frac{22}{3 \sqrt{26}}-2, \frac{2}{\sqrt{26}}\right)\), mientras que el valor mínimo es \(-\frac{52}{\sqrt{26}}-2\), obtenido en el punto \(\left(-\frac{10}{\sqrt{26}},-\frac{22}{3 \sqrt{26}}-2, \frac{2}{\sqrt{26}}\right)\).

¡Y con esto terminamos!

Método alternativo

El comienzo de este método es igual, definimos \(2\) restricciones en la forma \(g(x, y, z)=0\) y \(h(x, y, z)=0\). 

Lo que varía es la ecuación que tenemos que resolver:

\[\left|\begin{array}{lll}{f_{x}} & {f_{y}} & {f_{z}} \\ {g_{x}} & {g_{y}} & {g_{z}} \\ {h_{x}} & {h_{y}} & {h_{z}}\end{array}\right|=0\]

Por tanto, colocamos las derivadas parciales de las \(3\) funciones en las filas de una matriz, e igualamos el determinante de dicha matriz a cero.

En el ejemplo que hicimos el determinante sería:

\[\left|\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {0} \\ {2 x} & {0} & {2 z} \\ {2} & {-3} & {1}\end{array}\right|=0\]

Lo que daría:

\[0+4 z+0-0+6 z-2 x=0\]

\[2 x=10 z\]

\[x=5 z\]

¡Tal como lo hicimos antes!  A partir de este punto los cálculos son los mismos, simplemente debes sustituir las ecuaciones de superficie, resolver el sistema y hallar los extremos.

Cuando los gradientes no son sencillos, y hay varios ceros como estos, por ejemplo, este puede ser un gran método. Ya que no hay que lidiar con \(\lambda\) y \(\mu\).