Regla de la Cadena – Múltiples Parámetros

Regla de la Cadena - Caso \(N^{\circ}2\)

 

En este caso la función "de fuera" tiene dos variables, \(x\) y \(y\), y cada una de ellas es una función de otras dos variables, \(u\) y \(v\). La función compuesta será una función de \(u\) y \(v\) 

 

Como puedes ver, es bastante similar al primer caso, salvo que \(x\) y \(y\) dependen de dos variables.

 

Entonces:

 

\[f=f(x, y)\]

 

\[x=x(u, v)\]

 

\[y=y(u, v)\]

 

\[\Rightarrow f=f(x(u, v), y(u, v))\]

 

De vuelta a lo importante, veamos un ejemplo:

 

\[f=f(x, y)=x^{2}+x y\]

 

\[x=x(u, v)=u \operatorname{sen} v\]

 

\[y=y(u, v)=u v\]

 

Normalmente podríamos sustituir \(x\) y \(y\) en la expresión de \(f\) y calcular las derivadas parciales con respecto a \(u\) y \(v\). Podríamos, sí, pero será complicado. En algunos casos ni tendremos la expresión de \(f\). Entonces, ¿qué hacemos?

 

¡Usaremos la regla de la cadena!

 

En este caso, la función compuesta también es una función de dos variables, ¿verdad? \(u\) y \(v\). Entonces, las derivadas serán parciales en relación a \(u\) y \(v\).

 

Para este caso, la regla de la cadena es:

 

\[\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}\]

 

Y

 

\[\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}\]

 

Entonces, si queremos calcular \(\frac{\partial f}{\partial u}\) y \(\frac{\partial f}{\partial v}\) cuando \((u, v)=(1,0)\), primero hallamos el punto \((x, y)\) correspondiente a \((u, v)=(1,0)\): 

 

\[x(u, v)=u \operatorname{sen} v \Rightarrow x(1,0)=0\]

 

\[y(u, v)=u v \Rightarrow y(1,0)=0\]

 

Por tanto, \((x, y)=(0,0)\) cuando \((u, v)=(1,0)\)

 

Después, calculamos el gradiente de \(f\) y sustituimos en el punto \((x, y)=(0,0)\):

 

\[f(x, y)=x^{2}+x y\]

 

\[\nabla f(x, y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)=(2 x+y, x)\]

 

\[\Rightarrow \nabla f(0,0)=(0,0)\]

 

Realizamos el mismo proceso con el gradiente de \(x\):

 

\[x(u, v)=u \operatorname{sen} v\]

 

\[\nabla x(u, v)=\left(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial x}{\partial v}\right)=(\operatorname{sen} v, u \cos v)\]

 

\[\Rightarrow \nabla x(1,0)=(0,1)\]

 

Y también con el gradiente de \(y\):

 

\[y(u, v)=u v\]

 

\[\nabla y(u, v)=\left(\frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial v}\right)=(v, u)\]

 

\[\Rightarrow \nabla y(1,0)=(0,1)\]

 

Por último, sustituimos en las fórmulas:

 

\[\frac{\partial f}{\partial u}(1,0)=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \frac{\partial x}{\partial u}(1,0)+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) \frac{\partial y}{\partial u}(1,0)=0.0+0.0=0\]

 

Y

 

\[\frac{\partial f}{\partial v}(1,0)=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \frac{\partial x}{\partial v}(1,0)+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) \frac{\partial y}{\partial v}(1,0)=0.1+0.1=0\]

 

Resolviendo todooo eso llegamos a que la respuesta es cero.

 

En resúmen, los pasos a seguir son:

 

     \(1.\) Hallamos el punto \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) correspondiente a \(\left(u_{0}, v_{0}\right)\)

 

     \(2.\) Calculamos el gradiente de \(f\):

 

     \(3.\) Calculamos el gradiente de \(f\) en el punto \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\)

 

     \(4.\) Calculamos el gradiente de \(x\)

 

     \(5.\) Calculamos el gradiente de \(y\)

 

     \(6.\) Calculamos los gradientes de \(x\) y \(y\) en el punto \(\left(u_{0}, v_{0}\right)\)

 

     \(7.\) Sustituimos en las fórmulas 

 

\[\frac{\partial f}{\partial u}\left(u_{0}, v_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\partial x}{\partial u}\left(u_{0}, v_{0}\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\partial y}{\partial u}\left(u_{0}, v_{0}\right)\]

 

Y

 

\[\frac{\partial f}{\partial v}\left(u_{0}, v_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\partial x}{\partial v}\left(u_{0}, v_{0}\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\partial y}{\partial v}\left(u_{0}, v_{0}\right)\]

 

Y eso es todo. Largo, no tan complicado. Con un poco de práctica todo será más rápido.

 

Regla de la Cadena - Caso \(N^{\circ} 3\)

 

En este último caso la función "de fuera" es una función de tres variables, \(x, y\) y \(z\), y cada una de ellas es una función de otras tres variables, \(u, v\) y \(w\). El igual al caso anterior, solo que con más variables. 

 

La función compuesta será una función de \(u, v\) y \(w\). Así:

 

\[f=f(x, y, z)\]

 

\[x=x(u, v, w)\]

 

\[y=y(u, v, w)\]

 

\[z=z(u, v, w)\]

 

\[\Rightarrow f=f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))\]

 

Como la función compuesta también es una función de tres variables: \(u, v\) y \(w\), las derivadas serán parciales.

 

Por tanto, para este caso, la regla de la cadena es:

 

\[\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u}\]

 

\[\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v}\]

 

Y

 

\[\frac{\partial f}{\partial w}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial w}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial w}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial w}\]

 

Los pasos a seguir son los mismos, sin embargo, los gradientes tendrán un componente extra, la variable \(z\):

 

     \(1.\) Hallar el punto \(\left(x_{0}, y_{0}, z_{o}\right)\) correspondiente a \(\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right)\)

 

     \(2.\) Calcular el gradiente de \(f\)

 

     \(3.\) Calcular el gradiente de \(x\)

 

     \(4.\) Calcular el gradiente de \(y\)

 

     \(5.\) Calcular el gradiente de \(z\)

 

     \(6.\) Calcular el gradiente de \(f\) en el punto \(\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\)

 

     \(7.\) Calcular los gradientes de \(x, y\) e \(z\) en el punto \(\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right)\)

 

     \(8.\) Sustituir en las fórmulas 

 

\[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial u}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}( &\left.x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \frac{\partial x}{\partial u}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \frac{\partial y}{\partial u}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right) \\ &+\frac{\partial f}{\partial z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial u}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right) \end{aligned}\]

 

\[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial v}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}( &\left.x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \frac{\partial x}{\partial v}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \frac{\partial y}{\partial v}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right) \\ &+\frac{\partial f}{\partial z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial v}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right) \end{aligned}\]

 

Y

 

\[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial w}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}( &\left.x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \frac{\partial x}{\partial w}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \frac{\partial y}{\partial w}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right) \\ &+\frac{\partial f}{\partial z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \frac{\partial z}{\partial w}\left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right) \end{aligned}\]

 

¡Y eso es todo amigos, no olviden prácticar!

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