Recta Tangente a la Intersección de Superficies

¿Cómo se calcula?

Lo más importante que debes saber es que la curva de intersección pertenece a ambas superficies al mismo tiempo. Por tanto, su vector tangente será perpendicular a los vectores normales en ambas superficies. Los vectores de superficie son los vectores gradientes.

Los pasos a seguir son:

     \(1.\) Calcular el vector gradiente de la superficie \(S_{1} : \nabla F_{1}\left(P_{0}\right)=\overrightarrow{n_{1}}\)

     \(2.\) Calcular el vector gradiente de la superficie \(S_{2} : \nabla F_{2}\left(P_{0}\right)=\overrightarrow{n_{2}}\)

     \(3.\) Realizar el producto vectorial entre los dos vectores para encontrar un vector en la dirección de la recta: \(\vec{v}=\overrightarrow{n_{1}} \times \overrightarrow{n_{2}}\)

     \(4.\) Sustituir en la ecuación de la recta: \(r(t)=P_{0}+\vec{v} t\)

Veamos un ejemplo:

Vamos a calcular la ecuación de la recta tangente a la curva de intersección entre la superficie \(S_{1}\) dada por \(x^{2}+y^{2}-2=0\) y la superficie \(S_{2}\) dada por \(x+z-4=0\) en el punto \(P_{0}=(1,1,3)\).

Para calcular el vector gradiente de la superficie \(S_{1}\) y \(S_{2}\), colocamos todo del lado izquierdo y decimos que es \(F_{1}(x, y, z)\) y \(F_{2}(x, y, z)\), respectivamente. Y así, tenemos:

\[F_{1}(x, y, z)=x^{2}+y^{2}\]

\[\Rightarrow \nabla F_{1}=(2 x, 2 y, 0)\]

\[\Rightarrow \nabla F_{1}(1,1,3)=\overrightarrow{n_{1}}=(2(1), 2(1), 0)=(2,2,0)\]

Y

\[F_{2}(x, y, z)=x+z\]

\[\Rightarrow \nabla F_{2}=(1,0,1)\]

\[\Rightarrow \nabla F_{2}(1,1,3)=\overrightarrow{n_{2}}=(1,0,1)\]

Hallamos el vector en la dirección de la recta haciendo el producto vectorial entre \(\overrightarrow{n_{1}}\) y \(\vec{n}_{2}\):

\[\vec{v}=\overrightarrow{n_{1}} \times \overrightarrow{n_{2}}\]

\[\vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}{i} & {j} & {k} \\ {2} & {2} & {0} \\ {1} & {0} & {1}\end{array}\right|=2 i+0 j+0 k-2 k-0 i-2 j=(2,-2,-2)\]

Por último, sustituimos en la ecuación:

\[r(t)=P_{0}+\vec{v} t\]

\[r(t)=(1,1,3)+(2,-2,-2) t\]

\[r(t)=(1+2 t, 1-2 t, 3-2 t)\]

¿Ves? No es nada complicado. ¡Vamos a practicar en la sección de ejercicios!