Recta Tangente en R²

Repaso

En esta ocasión aprenderemos a calcular la recta tangente en \(R^{2}\). Sin embargo, antes de empezar debemos repasar algunos conceptos.

\(\bullet\) Vector Gradiente:

El vector gradiente \(\nabla f(x, y)\) de una función \(f(x, y)\) es el vector cuyas coordenadas son las derivadas parciales de la función \(f\) en relación a \(x\) y \(y\), es decir:

\[\nabla f(x, y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\]

Veamos un ejemplo:

\[f(x, y)=x^{2} y^{3}\]

\[\nabla f(x, y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)=\left(2 x y^{3}, 3 x^{2} y^{2}\right)\]

Si queremos calcular el valor del vector gradiente en el punto \(P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)\) simplemente sustituimos dicho punto en el vector gradiente, de esta forma:

\[f(x, y)=x^{2} y^{3}\]

\[P_{0}=(1,2)\]

\[\nabla f\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)=\left(2.1 .2^{3}, 3.1^{2} .2^{2}\right)=(16,12)\]

¿Lo recuerdas?

\(\bullet\) Ecuación de la recta 

La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto \(P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) y es paralela al vector \(\vec{v}=(a, b, c)\) será:

\[r(t)=P_{0}+\vec{v} t\]

\[r(t)=\left(x_{0}+a t, y_{0}+b t, z_{0}+c t\right)\]

\[t \in \mathbb{R}\]

Por ejemplo:

Halla la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto \((1,2,3)\) y es paralela al vector \((3,2,1)\). 

\[P_{0}=(1,2,3)\]

\[\vec{v}=(3,2,1)\]

Entonces, solo tenemos que hallar la ecuación de la recta conforme la fórmula:

\[r(t)=(1+3 t, 2+2 t, 3+t)\]

\[t \in \mathbb{R}\]

Calculando la recta tangente en \(R 2\)

Imagina que queremos calcular la recta tangente a la curva de nivel de una función \(f(x, y)\) de dos variables en un punto \(P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right)\).

Por ejemplo, vamos a calcular la recta tangente a la curva de nivel de \(f(x, y)=x^{2} y^{3}\) en el punto\(P_{0}=(1,2)\).

Necesitamos dos cosas: el punto tangencial y el vector tangente. El punto tangencial es el punto \(P_{0}=(1,2)\). Eso simplifica un poco las cosas, ¿no?

El asunto es que podemos hallar el vector tangente a partir del vector gradiente. ¡Veamos cómo hacerlo!

La siguiente imagen representa la curva de nivel de una función \(f(x, y)\), donde el vector gradiente es \(\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)\):

En este caso, \(\nabla f\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)=(16,12)\).

Sabemos que el vector gradiente es un vector normal a la curva de nivel, como se muestra en la imagen.

También sabemos que un vector normal a una curva en un punto \(P_{0}\) forma un ángulo de \(90^{\circ}\) con el vector tangente a la curva en dicho punto. Como se ve en la siguiente imagen:

Entonces, vamos a usar el hecho de que el vector gradiente forma \(90^{\circ}\) con el vector tangente para hallar dicho vector. El producto escalar de dos vectores que forman un ángulo de \(90^{\circ}\) es cero \((0)\). Por tanto:

\[\nabla f\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right) \cdot \vec{T}=0\]

Sustituyendo:

\[(16,12) \cdot(a, b)=0\]

Tendremos:

\[16 a+12 b=0\]

\[a=-\frac{3}{4} b\]

Entonces:

\[\vec{T}=\left(-\frac{3}{4} b, b\right)\]

Decidiendo un valor para \(b\), por ejemplo \(b=1\) tenemos:

\[\vec{T}=\left(-\frac{3}{4}, 1\right)\]

¡Listo! Solo falta armar la ecuación de la recta tangente. Que será:

\[r(t)=\left(x_{0}+a t, y_{0}+b t\right)\]

Sustituyendo:

\[r(t)=\left(1-\frac{3}{4} t, 2+t\right)\]

\[t \in \mathbb{R}\]

¡Vamos a los ejercicios!