Dominio de Funciones de 3 Variables

Restricciones de una función

En esta ocasión veremos cómo encontrar el dominio de las funciones de \(3\) variables. El proceso es similar al de las funciones de \(2\) variables. La diferencia es que ahora el dominio ya no es una región del plano, sino del espacio, es decir, una superficie.

Por eso es importante saber dibujar superficies, como podría ser una esfera. Para determinar el dominio tenemos que analizar las posibles restricciones de la función, que son:

     \(\bullet\) Raíz par: el término que está dentro de la función no puede ser negativo.

     \(\bullet\) Cociente: el denominador no puede ser cero.

     \(\bullet\) Logaritmo: el término que está dentro de la función debe ser estrictamente positivo.

Al igual que con las funciones de \(2\) variables.

Encontremos y dibujemos el dominio de la función:

\[f(x, y, z)=\ln \left(1-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)\]

La única restricción de la función es el logaritmo: el término dentro de ella debe ser estrictamente positivo. O sea:

\[1-x^{2}-y^{2}-z^{2}>0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}<1\]

Por tanto, el dominio de la \(f\) es el interior de la esfera de radio \(1\) centrada en el origen. El asunto es que la envoltura esférica en sí no es parte del dominio, porque en la desigualdad tenemos "\(<\)" y no "\(\leq\)". Esto es algo importante que hay que aclarar.

El dibujo queda así:

Un pequeño consejo: generalmente para estos ejercicios las formas que van a tener que dibujar son las mismas (esferas, conos, cilindros, etc). Lo que cambia es cómo está planteado el ejercicio.

¡Vamos a los ejercicios!