Teorema del Sándwich para Funciones de Múltiples Variables

Hasta ahora solo hemos visto el caso de límite más sencillo, donde basta con sustituir los valores. En esta ocasión veremos el método para calcular el límite cuando hay una indeterminación. 

El Teorema del Sándwich enuncia que sí:

\[g(x, y) \leq f(x, y) \leq h(x, y)\]

Y

\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} g(x, y)=\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} h(x, y)=L\]

Entonces

\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=L\]

Intuitivo, ¿verdad? La función \(f\) está “encerrada” entre las funciones \(g\) y \(h\), por lo que su límite debe ser el mismo. En la práctica, tenemos que hallar una expresión contenida en la función que esté limitada entre dos extremos.

Vamos a calcular:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\]

Teniendo en cuenta que:

\[0 \leq y^{2} \leq y^{2}+x^{2}\]

Esto se debe a que \(x^{2} \geq 0\), por lo que es lógico que \(y^{2} \leq y^{2}+x^{2}\), porque estamos sumando algo que no es negativo. Vamos a dividir todo por:

\[x^{2}+y^{2}\]

Recordando que el término no es negativo, entonces nada de invertir los signos de la inecuación. Entonces:

\[\frac{0}{x^{2}+y^{2}} \leq \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \leq \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\]

\[\Rightarrow 0 \leq \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \leq 1\]

¿Notaste que la expresión está contenida en la función?

\[f(x, y)=\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=x \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\]

Vamos a tomar la desigualdad y multiplicar lo que falta para que el término del medio sea igual a la función. En este caso, basta con multiplicar por \(x\):

\[0 \leq \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \leq 1\]

Si \(x>0\):

\[\Rightarrow 0 \cdot x \leq \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot x \leq 1 \cdot x\]

\[\Rightarrow 0 \leq \underbrace{\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}_{f(x, y)} \leq x\]

Si \(x<0\), debemos invertir las desigualdades:

\[\Rightarrow 1 \cdot x \leq \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot x \leq 0 \cdot x\]

\[\Rightarrow x \leq \underbrace{\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}_{f(x, y)} \leq 0\]

Por último: hacer los límites en cada término:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} 0 \leq \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \leq \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x\]

o

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \leq \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \leq \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} 0\]

Ahora es fácil calcular los límites de los extremos:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} 0=0\]

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x=0\]

Por tanto, de una manera u otra:

\[0 \leq \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \leq 0\]

Entonces, la única forma de que la desigualdad sea satisfecha es que el término sea cero.

Por tanto:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0\]

¿Entendiste la idea?

Algunos consejos

Consejo 1: las funciones que tienen términos como esos o similares multiplicados por otra expresión:

\[\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}, \frac{|x|}{|x|+|y|}, \frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\]

Son funciones que probablemente son resueltas de esa manera, ya que dichos términos siempre suelen estar entre \(0\) y \(1\).

Consejo 2: las funciones que pueden resolverse mediante el teorema del Sandwich son las funciones de seno y coseno, porque siempre son limitadas entre \(-1\) y \(1\).

Consejo 3: Teorema de la anulación. Es una simple herramienta que podemos usar en algunos casos para calcular el límite de un producto, especialmente en problemas que involucran senos y cosenos. El teorema enuncia que:

Si \(\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=0\) y \(g(x, y)\) es limitada, entonces

\[\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y) \cdot g(x, y)=0\]

Por ejemplo:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \cos \left(\frac{x}{y}+x^{4} y^{3}\right)\]

Sabemos que:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2}=0\]

Y \(\cos \left(\frac{x}{y}+x^{4} y^{3}\right)\) es limitada (entre \(−1\) y \(1\)) por el teorema de la anulación:

\[\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \cos \left(\frac{x}{y}+x^{4} y^{3}\right)=0\]

¿Entendiste todo? ¡Genial, vamos a los ejercicios!