Recta Normal

Recta Normal a una Superficie

Imagina que tenemos una superficie cualquiera, no importa cual sea. Sabemos que el vector gradiente siempre será normal a la superficie en un punto determinado, ¿verdad?

Suponiendo que alguien nos pregunta la ecuación de la recta normal a la superficie que imaginamos. ¿Cómo haríamos para hallarla?

En primer lugar, debemos saber: ¿qué necesitamos para calcular la ecuación de cualquier recta? 

Lo que necesitamos es:

     \(1.\) Un punto \(P_{0}\)

     \(2.\) Un vector \(\vec{n}\) en la dirección de la recta

Ecuación de la recta:

\[r(t)=P_{0}+\vec{n} t\]

Si el vector gradiente es normal a la superficie, también estará en la dirección de la recta normal, ¿verdad?

Bien, entonces para la recta normal a una superficie, necesitamos seguir los siguientes pasos:

     \(1.\) De ser necesario, sustituye \(f(x, y)\) por \(z\) en la ecuación de superficie.

     \(2.\) Colocar todas las variables del lado izquierdo de la ecuación.

     \(3.\) Decir que \(F(x, y, z)\)  es la expresión que queda del lado izquierdo de la ecuación.

     \(4.\) Calcular el gradiente de \(F : \nabla F(x, y, z)\)

     \(5.\) Calcular el gradiente de \(F\) en el punto \(P_{0} : \nabla F\left(P_{0}\right)=\nabla F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\)

     \(6.\) El vector normal será \(\vec{n}=\nabla F\left(P_{0}\right)\)

     \(7.\) Sustituir el punto \(P_{0}\) y el vector \(\vec{n}\) en la ecuación de la recta: \(r(t)=P_{0}+\vec{n} t\)

El punto \(P_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) de la superficie generalmente estará en la pregunta. 

Veamos un ejemplo:

Encuentre la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el punto \((1,1,-2)\).

\[f(x, y)=1-x^{2}-2 y^{2}\]

Sustituyendo \(f(x, y)\) por \(z\) en la ecuación de superficie, colocando todo del lado izquierdo y diciendo que es \(F(x, y, z)\), tenemos:

\[F(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+z-1\]

Calculando el gradiente de \(F\) y sustituyendo en el punto tangencial dado 

\(P_{0}=(1,1,-2)\), tenemos

\[\nabla F(x, y, z)=(2 x, 4 y, 1)\]

\[\Rightarrow \nabla F(1,1,-2)=(2,4,1)\]

El vector normal será \(\vec{n}=\nabla F\left(P_{0}\right)\)

\[\vec{n}=(2,4,1)\]

Por último, sustituimos \(\vec{n}\) y \(P_{0}\) en la ecuación de la recta:

\[r(t)=P_{0}+\vec{n} t\]

\[\Rightarrow r(t)=(1,1,-2)+(2,4,1) t\]

\[\Rightarrow r(t)=(1+2 t, 1+4 t,-2+t)\]

¡Eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en los ejercicios!