Suma y resta de fracciones

Introducción

 

Mira el siguiente número:

\[0,2\]

 

Ya lo conocemos, se trata de un número decimal. ¿Pero, qué dirías si te digo que ese número es igual a este?

 

\[\frac{1}{5}\]

 

 

¿Qué es eso? Esa es una fracción, y toda fracción equivale a un número decimal.

 

¿Cómo podemos sumar o restar fracciones? A continuación veremos cómo hacerlo, más no sin antes aprender algunos nuevos conceptos. 

 

Fracciones

 

Probablemente has escuchado la palabra fracciones antes. Pero si tuviéramos que definirla, ¿qué es una fracción en sí?

 

La fracción no es más que una parte de un todo. Es decir, si tenemos un valor que representa la totalidad de un algo, pero solo queremos una parte, utilizamos fracciones.

 

Si conseguimos dividir el todo en partes iguales, podemos representarlo a través de fracciones. 

 

Como por ejemplo, imagina que tienes una barra de chocolate y la divides en cuatro partes iguales. 

 

 

La totalidad de esa barra son los cuatro pedazos, que juntos conforman la barra entera.

 

Sin embargo, decides comerte un (1) pedazo, es decir, te comes solamente un pedazo de esa totalidad, ese pedazo es la parte seleccionada de la barra.

 

Entonces, la fracción que representa la cantidad que te comiste es:

 

\[\frac{1}{4}\]

 

Bien, otra cosa que necesitamos saber es como se llama cada parte de la fracción:

 

\[\frac{a}{b}\]

 

\(a\) es llamado denominador y \(b\) es el denominador. 

 

El denominador siempre será la cantidad de partes iguales en la que dividimos (o repartimos) la totalidad, mientras que el numerador será la cantidad utilizada de esas partes.

 

Simplificación de fracciones:

 

Otro aspecto a resaltar cuando hablamos de fracciones es la simplificación. Es decir, vamos a simplificar la fracción hasta obtener una fracción irreducible (que no se puede simplificar).

 

¿Pero cómo hacemos esa simplificación?

 

Debemos dividir tanto el numerador como el denominador por un múltiplo en común entre ambos. Repetir el proceso hasta llegar al punto en donde no exista un múltiplo en común entre el denominador y el numerador.

 

Ejemplo, vamos a simplificar la fracción:

 

\[\frac{80}{248}\]

 

Tanto \(80\) como \(248\) son múltiplos de \(2\), por tanto, vamos a simplificar por dos (o dividir entre dos):

 

\[\frac{80 \div 2}{248 \div 2}=\frac{40}{124}\]

 

Nuevamente, podemos simplificar por \(2\)

 

\[\frac{40 \div 2}{124 \div 2}=\frac{20}{62}\]

 

Simplificando por \(2\) una vez más:

 

\[\frac{20 \div 2}{62 \div 2}=\frac{10}{31}\]

 

Entonces, \(\frac{10}{31}\) es la fracción irreducible de \(\frac{80}{248}\).

 

Es importante saber que al finalizar un ejercicio debemos verificar si el resultado es la fracción irreducible, si no lo es, es necesario realizar la simplificación.

 

Mínimo Común Múltiplo

 

Antes de tocar el tema de la suma y resta de fracciones, es necesario entender el mínimo común múltiplo, también conocido como MCM.

 

Es decir, el MCM es una operación que se utiliza para encontrar el menor número, excluyendo el cero, que sea múltiplo de los valores que tenemos. Y en el caso de las fracciones, el MCM siempre se hará entre los denominadores.

 

¿Cómo se hace esa operación?

 

Pensemos en los números \(2\), \(5\) y \(10\)

 

1er Paso: poner los números uno al lado del otro, luego dibujar una recta a la derecha de los mismos, escoger un número primo (2, 3, 5…), que divida por lo menos uno de los números de lado izquierdo. Después de eso, hacemos la división de cada uno de los números del lado izquierdo por el número primo escogido, escribiendo los resultado debajo (si la división no es exacta solo repetimos el número).

 

Debemos repetir este paso hasta que todos los números al lado izquierdo sean iguales a \(1\).

 

2do Paso: para descubrir el MCM, multiplicamos los valores que tenemos del lado derecho.

 

 

Entonces, el MCM entre \(2\), \(5\) y \(10\) es \(10\).

 

Suma y resta de fracciones

 

Existen tres casos

 

1er Caso: suma y resta con fracciones de igual denominador

 

Cuando tenemos denominadores iguales, simplemente “mantenemos” el valor del denominador y sumamos (o restamos) los numeradores.

 

 

2do Caso: suma y resta de fracciones con diferentes denominadores

 

La idea es convertir cada una de las fracciones involucradas en otra equivalente. De forma que TODAS las fracciones que estés sumando o restando tengan el mismo denominador. 

 

Por ejemplo, cómo resolvemos

 

\[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\]

 

Debes seguir estos pasos:

 

1. Calcular el MCM entre los denominadores, ese MCM será el nuevo denominador.

2. Tomamos el valor del MCM, lo dividimos por el denominador de cada una de las fracciones (una a la vez) y multiplicamos por el valor del numerador.

3. Entonces obtendremos dos nuevas fracciones, con el mismo denominador, para finalmente sumar o restar normalmente. 

 

Resolviendo el ejemplo:

\[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\]

 

1. Debemos calcular el MCM entre los denominadores \(2\) y \(3\)

 

 

Entonces tenemos que el MCM es seis, este será el nuevo denominador. 

 

2. Tomamos el valor del MCM, dividimos por el denominador de cada una de las fracciones (una a la vez) y multiplicamos por el valor del numerador.

 

Para la primera fracción:

 

 

Para la segunda fracción:

 

 

3. Restamos estas nuevas fracciones

 

 

3er Caso: suma y resta de fracciones con números enteros

 

Cabe recordar, que todo número entero puede ser representado como una fracción, nada más ponemos el número \(1\) en el denominador.

 

Por ejemplo,

 

\[32=\frac{32}{1}\]

 

Entonces, para hacer la suma siempre vamos a utilizar su forma de fracción. 

 

Una vez hecho esto, seguimos el mismo proceso que para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes. 

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