Regla de tres compuesta
Introducción
Anteriormente, vimos cómo dos magnitudes pueden relacionarse de manera directa o indirecta, asimismo aprendimos a encontrar esta relación a partir de la Regla de 3 simple.
¿Pero cómo podemos relacionar más de dos magnitudes?
¿Descomponer las relaciones de magnitudes?
¿Multiplicar todo?
Nada de eso, para ello utilizamos la regla de 3 compuesta. Esta es extremadamente útil cuando nos encontramos con problemas con varias relaciones de magnitudes.
¡Veamos cómo funciona!
Aplicación
Mira este problema:
En \(8\) horas, \(20\) camiones son capaces de descargar \(1600\) sacos de cemento, ¿Cuantos camiones serán necesarios para descargar \(1250\) sacos de cemento en \(5\) horas?
Desde el inicio podemos notar que el problema consta de tres magnitudes diferentes, por lo que no podemos usar la regla de 3 simple, en su lugar, utilizamos la regla de 3 compuesta.
Para comenzar, construimos una tabla con todas la magnitudes involucradas en el problema, y colocamos una flecha (hacia arriba o hacia abajo) en la magnitud que contiene la incógnita:
Luego, relacionamos la magnitud que contiene la incógnita con las otras dos:
1: Cuantos más camiones, más sacos son descargados. Las magnitudes son directamente proporcionales, por tanto, las flechas tienen la misma dirección.
2: Cuantas más horas, menos camiones son necesarios para terminar el trabajo. Las magnitudes son inversamente proporcionales, por tanto, las flechas tienen sentidos opuestos.
Y así, tenemos:
Como el número de horas es inversamente proporcional a las otras dos magnitudes, invertimos el orden de los componentes (ponemos \(5\) en lugar de \(8\)) y armamos la ecuación:
\[\frac{20}{X}=\frac{1600}{1250} \cdot \frac{5}{8}\]
\[\frac{20}{X}=\frac{8.000}{10.000}\]
Finalmente, podemos multiplicar cruzado:
\[8.000 X=20 \bullet 10.000\]
\[8.000 X=200.000\]
\[X=\frac{200.000}{8.000}\]
\[X=25\]
Resuelto, para descargar \(1250\) sacos de cemento en \(5\) horas, necesitamos \(25\) camiones.
Un ejemplo más:
Una familia de \(3\) personas consume \(18 m^{3}\) de agua cada \(30\) días. ¿Cuántos metros cúbicos de agua consumiría en una semana una familia de \(6\) personas con los mismos hábitos de consumo?
En este problema, tenemos tres magnitudes:
- Cantidad de personas
- Volumen de agua consumida
- Cantidad de días
El primer paso es: hacer una tabla con la información suministrada, colocando una flecha en la magnitud de la incógnita (en este caso, el volumen de agua):
Vamos a comparar el proceso (volumen de agua), con las otras magnitudes:
-
Si el número de personas aumenta, el volumen de agua consumida también aumenta (y viceversa). Por tanto, tenemos magnitudes directamente proporcionales.
-
Si el número de días disminuye, el volumen de agua también disminuirá. Es decir, también son magnitudes directamente proporcionales.
Así, la tabla es:
Armamos la igualdad (Volumen de agua = Cantidad de personas x Cantidad de días):
\[\frac{18}{x}=\frac{3}{6} \times \frac{30}{7}\]
\[\frac{18}{x}=\frac{90}{42}\]
\[90 x=18 \times 42\]
\[x=\frac{756}{90}\]
\[x \cong 8.4\]
Se consumen \(8.4 m^{3}\) de agua.
Resumen
Para finalizar, veamos un resumen para entender cómo funciona esta regla.
Dividiéndola en pasos…
\(\bullet\) 1er Paso: Identifique cuál es la magnitud que contiene la incógnita, está será el producto. Las demás magnitudes involucradas en el problema serán el proceso.
\(\bullet\) 2do Paso: Compara el producto con cada magnitud del proceso y comprueba si son directamente o inversamente proporcionales.
\(\bullet\) 3er Paso: En caso de que la magnitud del proceso sea inversa a la magnitud del producto, invierta el orden de los componentes.
\(\bullet\) 4to Paso: Multiplicamos las magnitudes de los procesos.
\(\bullet\) 5to Paso: Finalmente, multiplicamos cruzado y resolvemos la ecuación para descubrir la incógnita.
¿Funciona cuando tenemos más de 3 magnitudes?
¡Si!
Mira la tabla:
En este caso, todas las magnitudes del proceso se relacionan directamente con el producto, entonces no necesitamos invertir los componentes.
Del resto es seguir los pasos para resolver el problema:
Primero multiplicamos las componentes del proceso:
\[\frac{5 \bullet 6 \bullet 30}{7 \bullet 4 \bullet 40}=\frac{520}{X}\]
\[\frac{900}{1.120}=\frac{520}{X}\]
Solo queda multiplicar cruzado y resolver la ecuación:
\[900 X=1.120 \bullet 520\]
\[900 X=582.400\]
\[X=\frac{582.400}{900}\]
\[X \cong 647\]
Se producen \(647\) piezas.
¿Un ejemplo más?
Tres costureras trabajando \(9\) días, \(8\) horas al día, producen \(15\) vestidos. Si \(5\) costureras trabajasen por \(5\) días, ¿Cuántas horas necesitarán por día para producir \(20\) vestidos?
Las magnitudes que tenemos son:
- Cantidad de costureras
- Cantidad de días
- Cantidad de horas por día
- Cantidad de vestidos
1er Paso
Identifique cuál es la magnitud que contiene la incógnita, está será el producto. Las demás magnitudes involucradas en el problema serán el proceso.
2do Paso
Compara el producto con cada magnitud del proceso y comprueba si son directamente o inversamente proporcionales.
-
Si aumentamos el número de costureras, deben trabajar menos horas al día. Entonces, son inversamente proporcionales.
-
Disminuyendo el número de días, tendrán que trabajar más horas. Entonces, son inversamente proporcionales.
-
Si aumentamos la cantidad de producción de vestidos, también tendremos que aumentar el número de horas trabajadas. Entonces, son magnitudes directamente proporcionales.
3er Paso
En caso de que la magnitud del proceso sea inversa a la magnitud del producto, invierta el orden de los componentes.
4to Paso
Multiplicamos las magnitudes de los procesos:
\[\frac{8}{x}=\frac{5 \bullet 5 \cdot 15}{3 \cdot 9 \cdot 20}\]
\[\frac{8}{x}=\frac{375}{540}\]
5to Paso
Finalmente, multiplicamos cruzado y resolvemos la ecuación para descubrir la incógnita.
\[375 x=4320\]
\[x \cong 11.52\]
¡Terminamos!
¡Vamos a los ejercicios!
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