Introducción a las Funciones de \(2^{do}\) Grado
Las funciones de 2do grado (también conocidas como funciones cuadráticas) están caracterizadas por tener un gráfico en forma de parábola.
Existen diversos ejemplos de aplicaciones donde dichas funciones son utilizadas en la cotidianidad, como:
\(\bullet\) Cálculos físicos.
\(\bullet\) Cálculos financieros.
\(\bullet\) Tasas de crecimiento y decrecimiento.
Definición
La función de 2do grado viene dada por:
\[f(x)=a x^{2}+b x+c\]
Donde,
\(a, b\) y \(c\) son números reales \(\mathbb{R}\)
\(a \neq 0\)
Para \(a\), tenemos dos casos.
Caso \(1\) - Para \(a>0\), tenemos una parábola cóncava hacia arriba.
Caso \(2\) - Para \(a<0\), tenemos una parábola cóncava hacia abajo.
¿Pero por qué \(a\) no puede ser cero?
Ejemplo de funciones
Para resolver esta pregunta, vamos a analizar la siguiente función:
\[f(x)=2 x^{2}+3 x+5\]
Tenemos que:
\[a=2.\]
\[b=3.\]
\[c=5.\]
Si \(a = 0\), el término \(x^{2}\) desaparecería y tendríamos una función de 1er grado.
\[f(x)=0 \bullet x^{2}+3 x+5\]
\[f(x)=3 x+5\]
¿Cómo trazamos el gráfico de una función de 2do grado?
Sabemos que el gráfico de la función de 2do grado tiene forma de parábola, y que el signo de \(a\) define su concavidad.
¿Cómo podemos construir el gráfico de una función de 2do grado?
Podemos construir el gráfico variando los valores de \(x\) para obtener los respectivos valores de \(y\).
Vamos a construir el gráfico de la función \(f(x)=x^{2}+2 x+1\)
Para \(x= -3\), tenemos:
\[f(-3)=(-3)^{2}+2 \bullet(-3)+1\]
\[f(-3)=9-6+1\]
\[f(-3)=4\]
Para \(x= -2\), tenemos:
\[f(-2)=(-2)^{2}+2 \bullet(-2)+1\]
\[f(-2)=4-4+1\]
\[f(-2)=1\]
Para \(x= -1\), tenemos:
\[f(-1)=(-1)^{2}+2 \bullet(-1)+1\]
\[f(-1)=1-2+1\]
\[f(-1)=0\]
Para \(x= 0\), tenemos:
\[f(0)=0^{2}+2 \bullet (0)+1\]
\[f(0)=1\]
\[f(1)=4\]
Para \(x= 1\), tenemos:
\[f(1)=1^{2}+2 \bullet 1+1\]
\[f(1)=4\]
Dibujo del gráfico
Como sabemos que \(a>0\), la parábola será cóncava hacia arriba.
Con los puntos que encontramos variando los valores de \(x\), podemos armar una tabla:
Aplicando esos puntos en el gráfico:
Como puedes ver, para cada punto en el eje \(y\) existen dos puntos en el eje \(x\).
\[f(-2)=f(0)=1\]
\[f(-3)=f(1)=4\]
Este patrón se repite infinitamente formando la parábola del gráfico.
Sin embargo, solo existe un punto en el eje \(y\) para solamente un punto en el eje \(x\).
\[f(-1)=0\]
Dicho punto de la parábola, es llamado vértice.
Más adelante hablaremos de él.
Volviendo a lo importante, podemos completar el gráfico trazando una línea curva entre los puntos que conforman la parábola.
Y así hacemos el gráfico de una función de 2do grado.
Vértice de la parábola
Ya sabemos que es el vértice de la parábola, ¿pero existe una fórmula para encontrarlo rápidamente?
¡CLARO QUE SÍ!
Presta atención…
\[V\left(-\frac{b}{2 a} ;-\frac{\Delta}{4 a}\right)\]
Donde,
\[x=-\frac{b}{2 a}\]
\[y=-\frac{\Delta}{4 a}\]
Si todavía no entiendes, veamos un ejemplo.
Queremos encontrar el vértice de la función \(f(x)=x^{2}+2 x+1\), donde \(\Delta = 0\).
La coordenada del vértice es dada por el par ordenado \((x ; y)\), para \(x\) tenemos:
\[x=-\frac{b}{2 a}\]
\[x=-\frac{2}{2 \bullet 1}\]
\[x=-1\]
Para \(y\) tenemos:
\[y=-\frac{\Delta}{4 a}\]
\[y=-\frac{0}{4 \cdot 1}\]
\[y=0\]
Por tanto, el vértice de la parábola se encuentra en la posición \(V(-1 ; 0)\).
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