Introducción a la Radicación

¡Bienvenidos, espero que estén bien! 

Ya sabemos que \(5^{2}=25\), ¿pero qué haríamos si quisiéramos saber el número el cual fue elevado al cuadrado para obtener \(25\)? 

Para eso tendremos que utilizar la raíz cuadrada.

En este caso, tenemos que elevar \(5\) al cuadrado para obtener \(25\), es decir:

\[\sqrt[2]{25}=5\]

El símbolo al lado de \(25\) es llamado raíz, entonces podemos decir que: la raíz cuadrada de  \(\underline 25\) es  \(\underline 5\).

La raíz es la operación inversa de la potencia. Así como la suma a la resta y la multiplicación a la división.

Una raíz está compuesta por lo siguientes elementos:

\[\sqrt[n]{a}=b\]

n es el índice de la raíz, a es el radicando y b es la raíz.

Raíces

CADA vez que te encuentres con una raíz, te preguntarás: “¿A qué número fue elevado el índice para que tengamos el valor del radicando?”

Por ejemplo:

\[\sqrt[4]{81}\]

Pensemos, ¿A qué número fue elevado cuatro (índice) para que obtengamos \(81\) (radicando)?

Probemos algunos valores, comenzando por el \(2\):

\[2^{4}=2 \times 2 \times 2 \times 2=16\]

\(16\) está bastante lejos del \(81\), probemos con \(4\):

\[4^{4}=4 \times 4 \times 4 \times 4=256\]

Cuando probamos con \(2\) el resultado es \(16\), que es menor que \(81\). Y con \(4\), tenemos que el resultado es \(256\), que es mayor que \(81\). Entonces, vamos a escoger un número entre \(2\) y \(4\), es decir, \(3\):

\[3^{4}=3 \times 3 \times 3 \times 3=81\]

BIEN, hallamos el número que estábamos buscando, entonces tenemos que:

\[\sqrt[4]{81}=3\]

Ah, por cierto, cuando no tenemos índice en la raíz se sobreentiende que es una raíz cuadrada (índice 2).

Por ejemplo:

\[\sqrt{144}=\sqrt[n]{144}\]

Para resolver esto, vamos a pensar “¿Qué número elevado al cuadrado (índice) da \(144\) (radicando)?”

El número \(10^{2}=10 \times 10=100\), entonces sabemos que el valor que estamos buscando es mayor que \(10\), probemos con \(12\):

\[12^{2}=12 \times 12=144\]

Listo, hallamos el número. Entonces, tenemos:

\[\sqrt{144}=12\]

Propiedades

1. Independientemente del índice, la raíz de \(0\) es \(0\)

\[\sqrt[n]{0}=0\]

2. Independientemente del índice, la raíz de \(1\) es \(1\)

\[\sqrt[n]{1}=1\]

3. La raíz de \(n\), de un número elevado a \(n\) es sí mismo:

\[\sqrt{a^{n}}=a\]

4. Toda raíz puede ser escrita en forma de potencia, solo debemos elevar el radicando por su propio exponente dividido por el índice:

\[\sqrt{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}\]

5. Cuando tenemos un exponente elevado a una raíz, es exponente “entra” al radicando:

\[(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}\]

Observaciones

A continuación veremos varios consejos que serán de utilidad para ti:

1. Si la raíz que estamos calculando tiene índice par \((2,4,6 \ldots)\)…pero el radicando es negativo. Esa raíz NO EXISTE:

Ej:

\[\sqrt{-4}\]

Podemos afirmar que esa raíz NO EXISTE, es decir, no existe ningún número que elevemos al cuadrado que pueda dar \(-4\).

• Si tenemos un índice par, cuando aplicamos la propiedad \(C\), siempre la respuesta será en módulo (que es valor positivo).

Ej:

\[\sqrt[4]{(-5)^{4}}\]

Tanto el radicando como el índice es \(4\), por tanto, podemos eliminar la raíz:

\[\sqrt[4]{(-5)^{4}}=-5\]

Como \(4\) es par, podemos aplicar el módulo:

\[\sqrt[4]{(-5)^{4}}=|-5|=5\]

¡Listo, a los ejercicios!