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Calculisto

Introducción a la trigonometría

¡Bienvenidos, espero que estén bien! En esta ocasión estudiaremos la trigonometría. El nombre puede sonar un poco amenazador, pero en realidad se trata de algo sencillo. Básicamente, es el estudio de las relaciones de los triángulos rectángulos. ¿Y para qué sirven esas relaciones?

 

Además de que el triángulo rectángulo es importante por sí solo, este nos ayuda a comprender otros fenómenos, tales como ondas, distancias, y circunferencias. 

 

Relaciones trigonométricas

 

El triángulo rectángulo posee dos ángulos iguales a \(90^{\circ}\), así:

 

 

El ángulo representado por el cuadrado es el ángulo de \(90^{\circ}\), mientras que por otro lado, \(\varphi\) será el ángulo a analizar. A partir de este, tendremos:

 

 

Donde el cateto opuesto es el lado para el cual el ángulo de análisis \(\varphi\) apunta.

 

Y el cateto adyacente es el lado que forma tanto el ángulo \(\varphi\) como el ángulo \(90^{\circ}\).

 

La hipotenusa, por su parte, es la recta que conecta al cateto opuesto con el cateto adyacente. Cuando estemos representando algebraicamente, el cateto opuesto será \(C O\), el cateto adyacente \(C A\) y la hipotenusa \(h\).

 

A partir de este punto podemos definir que:

 

\[\operatorname{sen}(\varphi)=\frac{C O}{h} \quad \cos (\varphi)=\frac{C A}{h} \quad \operatorname{tg}(\varphi)=\frac{C O}{C A}\]

 

Se puede leer como: seno de \(\varphi\), coseno de \(\varphi\) y tangente de \(\varphi\), siempre refiriéndose al ángulo en cuestión. 

 

Asociado a eso, también tenemos que:

 

\[\operatorname{cossec}(\varphi)=\frac{1}{\operatorname{sen}(\varphi)}=\frac{h}{C O} \quad \sec (\varphi)=\frac{1}{\cos (\varphi)}=\frac{h}{C A} \quad \operatorname{cotg}(\varphi)=\frac{1}{\operatorname{tg}(\varphi)}=\frac{C A}{C O}\]

 

Y se lee como: cosecante de \(\varphi\), secante de \(\varphi\), y cotangente de \(\varphi\). Nunca piensas que secante es \(1\) sobre seno solo por el nombre, ¡eh! La secante es \(1\) sobre coseno (truco: si tienes dudas, piensa en la \(3era\) letra de la palabra: la \(3era\) letra de secante es \(c\), entonces es la inversa de coseno. La \(3era\) letra de cosecante es \(s\), entonces es la inversa del seno.

 

Sigamos. Observa que:

 

\[\operatorname{sen}(\varphi)=\frac{C O}{h} \Longrightarrow C O=h \cdot \operatorname{sen}(\varphi)\]

 

\[\cos (\varphi)=\frac{C A}{h} \Longrightarrow C A=h \cdot \cos (\varphi)\]

 

Sustituyendo esos valores en la tangente:

 

\[\operatorname{tg}(\varphi)=\frac{C O}{C A}=\frac{h \cdot \operatorname{sen}(\varphi)}{h \cdot \cos (\varphi)} \Longrightarrow \operatorname{tg}(\varphi)=\frac{\operatorname{sen}(\varphi)}{\cos (\varphi)}\]

 

Lo mismo sigue para la cotangente también:

 

\[\operatorname{cotg}(\varphi)=\frac{\cos (\varphi)}{\operatorname{sen}(\varphi)}\]

 

¿Recuerdas el teorema de Pitágoras? Este dice que:

 

\[h^{2}=C O^{2}+C A^{2}\]

 

También sustituyendo:

 

\[h^{2}=[h \cdot \operatorname{sen}(\varphi)]^{2}+[h \cdot \cos (\varphi)]^{2} \Longrightarrow h^{2}=h^{2}\left[\operatorname{sen}^{2}(\varphi)+\cos ^{2}(\varphi)\right]\]

 

Dividiendo todo por \(h^{2}\), obtenemos la Identidad fundamental trigonométrica:

 

\[\operatorname{sen}^{2}(\varphi)+\cos ^{2}(\varphi)=1\]

 

Ese imponente nombre tiene su razón, de hecho, es la identidad trigonométrica más importante. A partir de esta podemos obtener otras relaciones. Dividiendo por \(\cos ^{2}(\varphi)\):

 

\[\frac{\operatorname{sen}^{2}(\varphi)}{\cos ^{2}(\varphi)}+\frac{\cos ^{2}(\varphi)}{\cos ^{2}(\varphi)}=\frac{1}{\cos ^{2}(\varphi)} \Longrightarrow \tan ^{2}(\varphi)+1=\sec ^{2}(\varphi)\]

 

De la misma manera, si dividimos todo por \(\operatorname {sen} ^{2}(\varphi)\), tenemos que:

 

\[\operatorname{cotg}^{2}(\varphi)+1=\operatorname{cossec}^{2}(\varphi)\]

 

Razones trigonométricas de ángulos notables

 

Ni seno, coseno o tangente poseen una relación lineal, como veremos más adelante. Eso significa que, por ejemplo:

 

\[\operatorname{sen}\left(60^{\circ}\right)=\operatorname{sen}\left(2 \cdot 30^{\circ}\right) \neq 2 \operatorname{sen}\left(30^{\circ}\right)\]

 

Para hallar el seno de un ángulo puedes recurrir a la vieja confiable, la calculadora o cuando no tengas una a la mano, es decir, siempre que la necesitas, puedes recurrir a esta tabla que contiene el seno, coseno y tangente de los ángulos más comunes en los ejercicios. 

 

 

Lo más recomendable es que la memorices para que así no necesites tenerla de manera física. 

 

Y en caso de que solo recuerdes una columna, no te preocupes, puedes utilizar la identidad fundamental para hallar el resto.

 

¿Entendido? ¡Vamos a los ejercicios!

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