Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 y 3 incógnitas

Método de eliminación - Sistemas de dos incógnitas

 

¡Bienvenidos, espero que estén bien! Ya vimos que son los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas, por ejemplo:

 

\[\left\{\begin{array}{r}2 x-y=3 \\ 4 x+2 y=34\end{array}\right.\]

 

¿Pero cómo podemos encontrar el resultado de ese sistema? Eso es lo que veremos a continuación, existen varios método para resolverlo, pero lo más utilizados son:

 

     \(\bullet\)  Método de suma

 

     \(\bullet\) Método de resta 

 

Vamos a aprender ambos.

 

Método de suma

 

La idea es sumar las ecuaciones del sistema, para que cuando hagamos esa suma, una de las incógnitas desaparezca (o sea cero). ¿PERO CÓMO?

 

Ahí está el asunto, vamos a multiplicar una de las ecuaciones por un número estratégico, dicho número nos va a ayudar a que la incógnita se convierta en cero cuando hagamos la suma. Vamos a utilizar el ejemplo:

 

\[\left\{\begin{array}{c}2 x-y=3 \\ 4 x+2 y=34\end{array}\right.\]

 

Sabemos que la idea de este método es sumar las dos ecuaciones para que estas se conviertan en una sola, pues haciendo esto una de las ecuaciones va a desaparecer o ser cero.

 

Si escogemos volver cero la incógnita \(x\), miramos la segunda ecuación donde tenemos \(4x\), y pensamos “¿Qué número puedo sumar para obtener \(0\)?

 

Podemos pensar en \(-4x\), porque de esta manera tendríamos:

 

\[4 x-4 x=0\]

 

Pero entonces, miras la primera ecuación y notas que en lugar de tener un \(-4 x\), tienes un \(2x\). Entonces, es el momento exacto para hacer lo siguiente, pensemos nuevamente “¿Por qué número multiplico la primera ecuación para obtener \(-4 x\)?

 

Si multiplicamos la primera ecuación por \(-2\), obtenemos \(-4\). Entonces hagamos eso:

 

 

Recordando que estamos multiplicando TODA la ecuación, es decir, todos los términos.

 

 

Haciendo eso llegamos al \(-4 x\) que queríamos

 

 

Y solo queda sumar las dos ecuaciones:

 

Finalmente obtenemos esta ecuación:

\[4 y=28\]

 

Resolviendo tenemos que:

\[y=7\]

 

Después de que descubrimos el valor de una de las incógnitas, sólo debemos reemplazar el valor en una de las dos ecuaciones, vamos a sustituir el valor de \(y\) en la primera:

 

 

Resolvemos la otra ecuación:

\[-4 x+14=-6\]

 

Y el resultado es:

\[x=5\]

 

La solución es:

\[(5,7)\]

 

Entonces, solo debes seguir estos pasos:

 

      \(\bullet\)  1er Paso: Escoger la incógnita que se convertirá en cero

 

      \(\bullet\)  2do Paso: Pensar en un número para multiplicar una de las ecuaciones con la finalidad de que cuando sumes una de las incógnitas se vuelva cero.

 

      \(\bullet\)  3er Paso: Multiplicar por el número escogido y sumar las ecuaciones.

 

      \(\bullet\)  4to Paso: Resolver la ecuación y luego sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones del sistema. 

 

Método de resta

 

El método es el siguiente: escoger una ecuación, aislar una incógnita, y luego sustituir el valor encontrado en la otra ecuación. Veamos un ejemplo:

 

\[\left\{\begin{array}{c}2 x-y=3 \\ 4 x+2 y=34\end{array}\right.\]

 

En la primera ecuación, vamos a aislar una variable, puede ser \(x\) o \(y\), en este caso, vamos a escoger \(y\):

 

 

Tenemos que el valor de \(y=-3+2 x\), vamos a sustituir eso en la segunda ecuación:

 

 

Y obtenemos esta ecuación:

\[4 x-6+4 x=34\]

 

\[8 x-6=34\]

 

Resolviendo, tenemos que \(x=5\). Después de descubrir el valor de la variable \(x\), regresamos a la ecuación aislada y resolvemos:

 

 

Así, tenemos que \(y=7\). La solución es:

 

\[(5,7)\]

 

El método de resta consta de los siguientes pasos:

 

      \(\bullet\)  1er Paso: Aislar una incógnita de una de las ecuaciones.

 

      \(\bullet\) 2do Paso: Sustituir la expresión encontrada en la otra ecuación. 

 

      \(\bullet\)  3er Paso: Resolver las ecuaciones.

 

Método escalonado - Sistema lineal de tres incógnitas

 

Hasta este punto, hemos aprendido dos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas (o variables), ¿Pero qué hacemos cuando tenemos \(3\)? Existen varios métodos, pero el más utilizado es el escalonado. El método escalonado está relacionado con la forma de las escaleras, porque de tener un sistema así:

 

\[\left\{\begin{array}{c}x+y+z=0 \\ 2 x+5 y+3 z=7 \\ -x+2 y+3 z=10\end{array}\right.\]

 

Pasas a tener uno así:

 

\[\left\{\begin{array}{r}x+y+z=0 \\ 3 y-z=7 \\ 3 z=3\end{array}\right.\]

 

Si, estos sistemas son equivalentes. Es decir, poseen el mismo conjunto solución. ¿Cómo hacemos eso? Hay \(4\) cosas que puedes hacer en un sistema, y usarlas a tu favor:

 

  \(1.\) Sumar o restar una ecuación por la otra

 

  \(2.\) Multiplicar una de las ecuaciones entera por un número real diferente a cero

 

  \(3.\) Intercambiar la posición de ambas ecuaciones entre sí

 

  \(4.\) Multiplicar una de las ecuaciones por un número y sumarlo o restarlo en la otra.

 

Entonces, vas a tomar un sistema, utilizar las herramientas y dejarlo en forma de escalera. Así que vamos a hacer el paso a paso del método escalonado, utilizando el siguiente sistema:

 

\[\left\{\begin{array}{c}x+y+z=0 \\ 2 x+5 y+3 z=7 \\ -x+2 y+3 z=10\end{array}\right.\]

 

1er Paso: elegir una de las ecuaciones y ponerla como la primera ecuación del sistema. 

 

CONSEJO: Siempre escoge la que tiene los coeficientes que multiplican las incógnitas, con los valores más bajos. En este caso, vamos a escoger la primera ecuación. Entonces no vamos a cambiar ninguna ecuación de lugar.

 

2do Paso: convertir en cero la primera incógnita, en este caso \(x\), es decir, queremos que esa parte sea cero:

 

 

Para eso vamos a utilizar las herramientas, podemos multiplicar una ecuación por un número y sumar en la otra. Siempre vamos a multiplicar la ecuación que escogimos en el paso \(1\), por un número que va a cancelar \(x\) en las otras ecuaciones. En la segunda ecuación tenemos:

 

\[2 x+5 y+3 z=7\]

 

Queremos que \(2 x\) desaparezca, entonces necesitamos sumarlo con un \(-2 x\), sin embargo, en la primera ecuación solo tenemos \(x\). Por eso, vamos a multiplicar la primera línea por \(-2\) y luego vamos sumar por la segunda.

 

   \(\bullet\) Multiplicando por \(- 2\):

 

 

 

Esa multiplicación será netamente imaginaria, la línea va a continuar como antes. Ahora vamos a sumar esa ecuación en la segunda:

 

 

 

La tercera ecuación es:

\[-x+2 y+3 z=10\]

 

Tenemos \(-x\), para que sea cero necesitamos una \(x\), y ya la tenemos en la primera ecuación, entonces solo vamos a sumar:

 

 

 

 

3er Paso: listo, la próxima parte de la escalera que debe ser cero es la variable \(y\) de la última ecuación.

 

 

Pero no vamos a seguir utilizando la primera ecuación, si la utilizamos, \(x\) va a volver y no queremos eso. Entonces vamos a usar la segunda ecuación. En la tercera ecuación tenemos:

 

\[3 y+4 z=10\]

 

Para que \(y\) sea cero, debemos sumar \(-3 y\), en esa ecuación. La segunda ecuación tiene \(3 x\), entonces vamos a multiplicarla por \(-1\) y sumar en la última:

 

   \(\bullet\) Multiplicando por \(-1\):

 

 

Luego sumando:

 

 

 

Y con eso, acabamos de terminar el sistema escalonado, para encontrar los valores solo debes ir resolviendo las ecuaciones, y cuando encuentres un valor sustituyelo en la siguiente ecuación, en orden descendiente. De la última ecuación tenemos que:

 

\[3 z=3 \quad \Rightarrow z=1\]

 

Sabiendo que \(z=1\), subimos a la segunda ecuación y ponemos su valor correspondiente:

 

\[3 y+z=3 y+1=7 \quad \Rightarrow y=2\]

 

Y ahora vamos a la primera ecuación:

\[x+y+z=0\]

 

\[x+2+1=0 \Rightarrow x=-3\]

 

De esta forma, tenemos que la solución de la ecuación es:

 

\[(-3, 2, 1)\]

 

Y así funciona el método escalonado, para tres incógnitas siempre lo hacemos en la misma secuencia, usamos la primera ecuación para cancelar la variable \(x\) de las otras ecuaciones, después usamos la segunda para convertir en cero \(y\) de la tercera.

 

¡Vamos a los ejercicios!

Hay un error?
Ir al Siguiente Capitulo: Introducción a los triángulos
Todos los Resúmenes