Intereses Simples y Compuestos
Introducción
¡Bienvenidos, espero que estén bien!
En esta ocasión hablaremos sobre una de las áreas de aplicación de los porcentajes, la cual es bastante común, hablaremos sobre los Intereses simples y compuestos.
Los intereses están presentes en diversas circunstancias del día a día, en el rendimiento del ahorro, en las financiaciones o cuando nos atrasamos en el pago de una deuda.
Pero, ¿Realmente sabes qué son los intereses, así como sus aplicaciones?
Definición: intereses es la tasa de crecimiento de algún valor en relación a un determinado período de tiempo.
Bien, ahora que definimos qué son los intereses, podemos comenzar a hablar un poco más de ellos.
Intereses simples
El interés simple es un incremento aplicado a un valor inicial y viene dado por la fórmula:
\[J=C \bullet i \bullet t\]
Donde
\(I\) son los intereses
\(C\) es el capital inicial
\(i\) es la tasa de interés (¡ATENCIÓN! Esta tasa es dada en decimales, para obtener la tasa de esta forma tenemos que dividir el porcentaje por \(100\). Ejemplo: \(50 \%=\frac{50}{100}=0,5\).
\(t\) es el tiempo (¡ATENCIÓN! El tiempo debe estar relacionado a la tasa de interés, es decir, si la tasa es dada en meses, el tiempo debe ser dado en meses).
Existe otra fórmula bastante útil, que nos dice cuál será el total acumulado luego de la aplicación de intereses:
\[M=C+I\]
Donde
\(I\) son los intereses
\(C\) es el capital inicial
\(M\) es el monto dado por la suma de los intereses con el capital inicial.
¿Qué tal si vemos un ejemplo para entender cómo funciona en la práctica?
Aplicación
Imagina que aplicaste \(2.000,00\) dólares a una tasa de \(3 \%\) al mes durante \(12\) meses, ¿Cuánto será el monto final?
El capital inicial \(C\) es \(2.000,00\) dólares, la tasa de interés \(i\) es del \(3 \%\) al mes, y el tiempo de aplicación \(t\) es de \(12\) meses.
Poniendo todo en la fórmula, tenemos:
\[I=2.000,00 \bullet 0,03 \bullet 12\]
\[I=720\]
Ahora solo debemos calcular el monto sumando los intereses encontrados junto con el capital inicial:
\[M=2.000,00+720\]
\[M=2.720,00\]
¿Fácil, no?
Veamos una aplicación extra para que estés super preparado
Un capital aplicado a intereses simples durante \(8\) meses sobre una tasa del \(4 \%\) al més generó un monto de \(7920,00\$\) dólares. ¿Cuál es el valor del capital inicial aplicado?
Tomando en cuenta la información que tenemos, debemos elegir qué fórmula utilizar.
Tenemos el valor del monto, de la tasa y del tiempo en meses:
\[M=7920\]
\[i=4 \% \text { o } 0,04\]
\[t=8\]
Queremos saber el valor del capital inicial, pero para eso también necesitaremos el valor de los intereses.
\[I=C \bullet 0,04 \bullet 8\]
\[I=0.32 C\]
Podemos sustituir el valor que encontramos en los intereses en la fórmula del monto:
\[M=I+C\]
\[7920=0,32 C+C\]
\[7920=1,32 C\]
\[C=6000,00\]
Es decir, el capital inicial aplicado fue de \(6000,00 \$\) dólares.
Intereses compuestos
Ya vimos que son los interés simples, así como sus aplicaciones. Pero, ¿Qué serán esos tales intereses compuestos?
Los intereses compuestos son los más utilizados en transacciones financieras, pues a diferencia de los intereses simples, se aplica sobre la acumulación de intereses.
¿Qué quiere decir eso?
Supongamos que tienes una deuda de \(1.000,00\) dólares, y que luego de aplicar los intereses correspondientes a un (\(1\)) mes, dicha deuda aumentó a \(1.100,00\) dólares.
En caso de que la deuda no sea pagada, el próximo mes la deuda será sobre el acumulado de \(1.100,00\) dólares, y no sobre el capital inicial como en los intereses simples.
La forma de calcular los intereses compuestos viene dada por la siguiente fórmula:
\[M=C \bullet(1+i)^{t}\]
Donde
\(M\) es el monto
\(C\) es el capital inicial
\(i\) es la tasa de interés.
\(t\) es el tiempo de aplicación
Recordando que la tasa debe ser dada en decimales, y que además, tanto \(i\) como \(t\) deben estar en la misma unidad.
Luego de encontrar el monto, podemos hallar el valor de los intereses a través de la siguiente fórmula:
\[I=M-C\]
Donde
\(I\) son los intereses
\(M\) es el monto
\(C\) es el capital inicial
¿Entendido?
Tranquilo, con el ejemplo todo se vuelve más fácil…
Aplicación
Aplicando \(30.000,00\) dólares en acciones en la bolsa de valores, ¿Cuál será el monto luego de \(3\) años, sabiendo que la rentabilidad anual es de \(2,5 \%\)?
El capital inicial es de \(30.000,00\) dólares, el tiempo de aplicación es de \(3\) años y la rentabilidad anual es de \(2,5 \%\).
Poniendo los valores en la fórmula, tenemos:
\[M=30.000,00 \bullet(1+0,025)^{3}\]
\[M=30.000,00 \bullet(1,025)^{3}\]
Recordando que
\[(1,025)^{3}=(1,025) \bullet(1,025) \bullet(1,025)\]
Luego
\[M=30.000,00 \bullet((1,025) \bullet (1,025) \bullet (1,025))\]
\[M=30.000,00 \bullet 1,076\]
\[M=32.306,71\]
Ahí está, el monto será de \(32.306,71\) dólares.
En caso de que queramos hallar el total de intereses, restamos el monto menos el capital inicial:
\[I=32.280,00-30.000,00\]
\[I=2.280,00\]
Los intereses acumulados durante \(3\) años serán \(2.280,00\) dólares.
Otro ejemplo:
Si un capital de \(2000,00 \$\) dólares es aplicado a intereses compuestos durante dos meses sobre una tasa fija que produce un monto de \(2184,05 \$\), ¿Cuál es el valor de la tasa mensual de los intereses?
Bien, en este ejercicio queremos calcular el valor de la tasa \(i\), entonces vamos a utilizar la fórmula del monto para intereses compuestos:
\[M=C \bullet(1+i)^{t}\]
Tenemos \(M=2184,05, C=R \$ 2000,00\) y \(t=2\).
\[2184,05=2,000 \bullet(1+i)^{2}\]
\[(1+i)^{2}=\frac{2184,05}{2000}\]
\[(1+i)^{2}=\frac{2184,05}{2000}\]
\[(1+i)^{2}=1.092025\]
Eliminando la raíz:
\[1+i=\sqrt{1.092025}\]
\[i=1.045-1=0.045\]
Es decir, la tasa es de \(4,5 \%\) mensual.
Ahora que sabemos todo sobre los intereses ¡Estamos listos para ir a los ejercicios!
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