Operaciones con raíces

Suma y resta

En esta ocasión aprenderemos cómo hacer cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división).

Bien, no tenemos ninguna regla en especial ni para la suma ni para la resta, solo resolvemos las raíces:

Ejemplo:

\[\sqrt[3]{125}+\sqrt{81}-\sqrt[5]{1}\]

Vamos a resolver cada una de las raíces:

Primera raíz:

\[\sqrt[3]{125}\]

Pensando en qué número elevado al cubo (índice), da como resultado \(125\) (radicando).

Si intentamos \(4^{3}=4 \times 4 \times 4=64\) vemos que el valor es menor que \(125\), entonces intentemos con \(5\)

\[5^{3}=5 \times 5 \times 5=125\]

Entonces

\[\sqrt[3]{125}=5\]

Segunda raíz:

\[\sqrt{81}\]

Pensemos qué número elevado al cuadrado da \(81\).

Sabemos que \(10^{2}=10 \times 10=100\), entonces el número que estamos buscando es menor que \(10\), probemos con \(9\)

\[9^{2}=9 \times 9=81\]

Así tenemos:

\[\sqrt{81}=9\]

Tercera raíz:

\[\sqrt[5]{1}\]

Independientemente del índice, la raíz de \(1\), siempre será \(1\):

\[\sqrt[3]{1}=1\]

Por último, resolvemos la expresión:

\[\sqrt[3]{125}+\sqrt{81}-\sqrt[5]{1}=5+9-1=13\]

Multiplicación

Para llevar a cabo la multiplicación de raíces, se debe satisfacer una condición: que todas las raíces tengan el mismo índice. En caso de no cumplir esta condición, se deben resolver las raíces por separado y luego multiplicar:

Cuando tenemos el mismo índice, por ejemplo:

\[\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{8}\]

Podemos agrupar todo los términos dentro de una sola raíz, y multiplicar:

\[\sqrt[3]{4 \times 2 \times 8}=\sqrt[3]{64}\]

Entonces, qué número elevado al cubo da \(64\), probemos con \(4\)

\[4 \times 4 \times 4=64\]

Tenemos que:

\[\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{64}=4\]

Recordando que este método solo es válido para índices iguales. También se puede utilizar cuando se tiene una raíz con un número en el que el resultado no es exacto (o muy grande), pues verla como una multiplicación puede llegar a simplificar el resultado. 

Por ejemplo:

\[\sqrt{32}\]

Si pensamos qué número elevado al cuadrado da \(32\), no encontraremos un número entero, porque \(5^{2}=25\) y \(6^{2}=36\), entonces el resultado para la raíz de \(32\) es un número decimal entre \(5\) y \(6\).

Pero podemos usar la multiplicación a nuestro favor, podemos pensar que \(32=16 \times 2\), es decir

\[\sqrt {32}= \sqrt {16 \times 2}\]

En este caso tenemos una raíz, que puede ser considerada como dos raíces del mismo índice si multiplicamos:

\[\sqrt {16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt {2}\] 

La raíz de \(16\) es \(4\), sim embargo, no existe un número entero que sea la raíz cuadrada de \(2\) (por esa razón lo dejaremos como está). La simplificación será:

\[\sqrt {32} = \sqrt {16} \times \sqrt {2} = {4} \times \sqrt {2}\] 

Entonces, el resultado simplificado es \({4} \sqrt {2}\). Como puedes ver, no colocamos el símbolo de multiplicación, pues cuando tenemos un número antes de una raíz se sobreentiende que se están multiplicando. 

División

Para dividir raíces es necesario que todos los términos cuenten con el MISMO ÍNDICE. De lo contrario, se deben resolver las raíces individualmente y luego dividir:

Por tanto, cuando se están dividiendo dos raíces de igual índice, podemos hacer una sola raíz para los números que se están dividiendo.

Ejemplo:

\[\frac {\sqrt [3] {81}}{\sqrt [3] {3}}\]

Agrupando los términos en una misma raíz, tenemos:

\[\frac {\sqrt [3] {81}}{\sqrt [3] {3}} = \sqrt[3]\frac {{81}}{3} =  \sqrt[3] {27}\]

Listo, ahora debemos pensar qué número elevado al cubo da \(27\). Probemos con \(3\):

\[{3}^{3} = {3} \times {3} \times {3} = {27}\]

Entonces tenemos:

\[\frac {\sqrt [3] {81}}{\sqrt [3] {3}} = \sqrt[3]\frac {{81}}{3} =  \sqrt[3] {27} = {3}\]

¡Y eso es todo, vamos a los ejercicios!