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Calculisto

Teorema de los senos y Teorema del coseno

Introducción

 

¡Bienvenidos, espero que estén bien! En esta ocasión hablaremos sobre dos teoremas sumamente importantes para el estudio de la trigonometría. 

 

Teorema de los senos 

 

El teorema de los senos no tiene mucho misterio, pero vamos a dividirlo en dos partes para que sea más fácil de entender de qué se trata. Imagina que tenemos un triángulo cualquiera.

 

Puede ser isósceles, equilátero, rectángulo o cualquier otro, como el siguiente:

 

Tenemos un triángulo cualquiera con ángulos \(\hat{A}, \widehat{B}\) y \(\widehat{C}\) y lados \(a, b\) y \(c\). Observa que el lado \(a\) es opuesto al lado \(\hat {A}\), porque \(\hat {A}\) apunta hacia \(a\). Lo mismo es válido para \(b\), que es el lado opuesto al ángulo \(\hat {B}\) y \(c\) opuesto a \(\hat {C}\).

 

La primera parte del teorema de los senos dice que la razón entre un lado opuesto y su ángulo siempre es igual para todo el triángulo. En otras palabras:

 

\[\frac{a}{\operatorname{sen}(\hat{A})}=\frac{b}{\operatorname{sen}(\hat{B})}=\frac{c}{\operatorname{sen}(\widehat{C})}\]

 

¿Todo bien hasta ahora? Sabemos que la razón entre un lado opuesto y su ángulo siempre es igual, ¿Pero cuál es el valor de esa razón? Esa es la motivación para la segunda parte del teorema.

 

Para llegar al resultado, imagina que el triángulo está dentro de una circunferencia y todos sus vértices hacen parte de esta circunferencia, es decir, la tocan:

 

 

Cuando esto ocurre decimos que el triángulo está inscrito en la circunferencia o es un triángulo circunscrito. La razón entre el lado opuesto y su ángulo siempre será en el triángulo e igual al diámetro, o dos veces el radio, de una circunferencia en la cual es posible inscribir un triángulo:

 

\[\frac{a}{\operatorname{sen}(\hat{A})}=\frac{b}{\operatorname{sen}(\widehat{B})}=\frac{c}{\operatorname{sen}(\hat{C})}=2 R\]

 

Si un triángulo tiene ángulos \(\hat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}\) con sus respectivos lados opuestos \(a, b\) y \(c\) y puede ser inscrito en una circunferencia de radio \(R\), entonces:

 

\[\frac{a}{\operatorname{sen}(\hat{A})}=\frac{b}{\operatorname{sen}(\widehat{B})}=\frac{c}{\operatorname{sen}(\widehat{C})}=2 R\]

 

Teorema del coseno

 

¿Recuerdas el teorema de Pitágoras, verdad? Este enuncia que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Este teorema es de mucha utilidad cuando tenemos dos lados de un triángulo rectángulo y queremos hallar el tercero. 

 

Ten en cuenta que el triángulo tiene que ser un triángulo rectángulo. ¿Pero qué hacemos si tenemos que calcular el tercer lado de un triángulo no rectángulo? Para esos casos utilizamos el teorema del coseno, que permite descubrir el tercer lado de un triángulo sabiendo su ángulo opuesto y el resto de sus lados.

 

Por ejemplo, observa el siguiente triángulo:

 

 

Si queremos calcular \(c\) conociendo los otros dos lados \(a\) y \(b\) y el ángulo opuesto \(\hat {C}\), usamos el teorema del coseno, que dice:

 

\[c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos (\widehat{C})\]

 

Es decir, el cuadrado de un lado de un triángulo cualquiera es la suma del cuadrado de los otro dos lados menos dos veces su producto con el coseno del ángulo opuesto.

 

El teorema del coseno puede ser aplicado incluso en triángulos rectángulos.

 

 

Para la hipotenusa, tendríamos:

 

\[h^{2}=C O^{2}+C A^{2}-2(C O)(C A) \cos \left(90^{\circ}\right)\]

 

Como el ángulo opuesto a la hipotenusa es \({90}^\circ\) y \(\cos{90}^\circ=0\), todo se resume a :

 

\[h^{2}=C O^{2}+C A^{2}\]

 

De esta manera, el Teorema de Pitágoras pasa a ser a un caso particular del Teorema del coseno para cuando el triángulo es de tipo rectángulo.

 

¿Todo claro? ¡Genial, vamos a los ejercicios!

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