Operaciones con Números Complejos
Introducción
¡Bienvenidos, espero que estén bien!
En esta ocasión vamos a estudiar las operaciones con números complejos.
Ya sabemos como hacer operaciones en el resto de conjuntos, solo falta aprender a trabajar con el conjunto de los números complejos.
¡Vamos allá!
Suma y resta
Sabemos que los números complejos siempre tendrán este formato:
\[z=a+b i\]
Donde \(a\) es la parte real y \(b\) la imaginaria.
La idea es simple: sumar o restar los semejantes.
Es decir, la parte real de uno con la parte real del otro, y la parte imaginaria de uno con la parte imaginaria del otro.
Por ejemplo:
Sea
\[z_{1}=3+5 i\]
\[z_{2}=-4+3 i\]
Sumamos
\[z_{1}+z_{2}=(3+5 i)+(-4+3 i)\]
Agrupamos los semejantes
\[z_{1}+z_{2}=3-4+5 i+3 i=-1+8 i\]
Lo mismo para la resta
\[z_{1}-z_{2}=(3+5 i)-(-4+3 i)\]
Cambiamos el signo de los números dentro del paréntesis, y luego agrupamos los términos semejantes. Así:
\[z_{1}+z_{2}=3+5 i+4-3 i=3+4+5 i-3 i=7+2 i\]
¿Entendido?
Multiplicación y división
Vamos con la multiplicación…
Seguramente te des cuenta de que vamos a utilizar cosas que probablemente hayamos visto antes.
Sea
\[z_{3}=-2+4 i\]
\[z_{4}=1+3 i\]
Haciendo la multiplicación, tendremos
\[z_{3} \cdot z_{4}=(-2+4 i) \cdot(1+3 i)\]
Aplicamos la propiedad distributiva
\[z_{3} \cdot z_{4}=(-2) \cdot(1)+(-2) \cdot(3 i)+(4 i) \cdot(1)+(4 i) \cdot(3 i)=-2-6 i+4 i+12 i^{2}\]
¿Hasta ahí, bien?
Pero no olvides esto:
\[i^{2}=-1\]
Por tanto…
\[z_{3} \cdot z_{4}=-2-6 i+4 i+12(-1)=2-6 i+4 i-12\]
Agrupando los términos semejantes, tenemos
\[z_{3} \cdot z_{4}=-2-6 i+4 i-12=-14-2 i\]
En la multiplicación, ocurre algo interesante. Cada vez que multiplicamos un número complejo por su conjugado (mismo número, pero el signo de la parte la parte imaginaria cambia), encontramos un número real. Por ejemplo:
\[z_{3} \cdot \bar{z}_{3}=(-2+4 i)(-2-4 i)=4+8 i-8 i-16 i^{2}=4+16=20\]
Recuerda lo anterior porque lo usaremos en breve.
¡Vamos a la división! En este caso utilizaremos los mismos números complejos del ejemplo anterior. Tendremos lo siguiente:
\[\frac{z_{3}}{z_{4}}=\frac{-2+4 i}{1+3 i}\]
Ahora la pregunta es… ¿CÓMO VAMOS A RESOLVER ESO?
Si pensaste en “dividir los términos semejantes”
Tendremos
\[\frac{-2+4 i}{1+3 i}=-2+\frac{4}{3} i\]
¿Verdad?
Sin embargo, eso es INCORRECTO.
No podemos hacer eso, porque siempre debemos pensar en que la división es la inversa de la multiplicación. Por ejemplo:
\[\frac{6}{3}=2 \rightarrow 2.3=6\]
Entonces, si hiciéramos
\[\frac{-2+4 i}{1+3 i}=-2+\frac{4}{3} i\]
Si multiplicaramos
\[(1+3 i)\] y \[\left(-2+\frac{4}{3} i\right)\]
Tendríamos
\[(1+3 i)\left(-2+\frac{4}{3} i\right)=-2+\frac{4}{3} i-6 i+4 i^{2}\]
Ves que el resultado es MUY DISTINTO a \(-2+4 i\).
¿Entonces, cómo lo resolvemos?
Si multiplicamos una fracción por otra que tenga los mismos valores en el numerador y en el denominador, mantendremos la fracción inicial. Por ejemplo:
\[\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{2}=\frac{3}{5}\]
¿Pero por qué eso sería importante?
Porque podremos reescribir la división transformando el denominador en un número real… ¿Cómo lo hacemos?
Usando el CONJUGADO del denominador.
De la siguiente forma…
\[\frac{z_{3}}{z_{4}}=\frac{-2+4 i}{1+3 i} \cdot \frac{1-3 i}{1-3 i}=\frac{-2+6 i+4 i-12}{1^{2}+3^{2}}=\frac{-14+10 i}{10}=-\frac{14}{10}+i\]
Eso es lo que haremos cada vez que queramos resolver una división… Hallaremos el conjugado del denominador para luego multiplicar tanto el numerador como el denominador por él. ¿Fácil, no?
Potencias de \(i\)
Para cerrar el tema hablaremos sobre \(“i”\). Ya sabemos que \(i^{2}=-1 \ldots\).
¿Pero cuánto es \(i^{107}\) о \(i^{2050}\)?
¿Difícil saber?
Calma, pensemos en ello un poco más despacio
\[i^{0}=1\] \[i^{1}=i\] \[i^{2}=-1\] \[i^{3}=i \cdot i^{2}=i(-1)=-i\] \[i^{4}=i^{2} \cdot i^{2}=(-1)(-1)=1\]
\[i^{5}=i^{4} \cdot i=1 \cdot i=i\] \[i^{6}=i^{4} \cdot i^{2}=1 \cdot(-1)=-1\] \[i^{7}=i^{4} \cdot i^{3}=1 \cdot(-i)\]
Y así sucesivamente…
Debes haber notado que siempre aparecerán los mismo valores, pero para facilitar el trabajo, pensemos en lo siguiente: por el cálculo que hicimos \(i^{4}=1\), es decir, siempre compensará poner el exponente en función del \(4\), ¿cómo así?
Vamos a calcular las potencias del principio…
\[i^{107}\]
Lo primero que haremos es dividir \(107\) por \(4\). Así:
Es decir, podemos escribir \(107\) como:
\[107=26 \times 4+3\]
Siendo así,
\[i^{107}=\left(i^{4}\right)^{26} \cdot i^{3}=1^{26} \cdot(-i)=-i\]
De forma general, solo debemos dividir el exponente por \(4\) y el valor que nos de el resto, será el nuevo exponente.
\[i^{107}=i^{3}\]
¿Entendiste todo?
¡Vamos a los ejercicios!
Hay un error?
Ir al Siguiente Capitulo: Introducción a la potenciación
Todos los Resúmenes
