Introducción a los sistemas lineales

Ecuaciones lineales

¡Bienvenidos, espero que estén bien! En esta ocasión estudiaremos los sistemas lineales. Pero antes de ir a esa parte, haremos un repaso sobre las ecuaciones.

Las ecuaciones son igualdades matemáticas entre dos expresiones, por medio de las cuales podemos encontrar el valor de algo que queremos saber.

Por ejemplo, si obtuviste \(8,5\) en el primer exámen de matemática, pero quieres saber cuánto necesitas obtener en el próximo examen para aprobar la materia con un promedio de \(9\). Piensas:

\[\text {¿Qué nota sumo junto con la de mi primer exámen que dividida por 2, sea igual a 9?}\]

Para realizar este cálculo utilizamos una ecuación, específicamente esta de aquí:

\[\frac{8,5+x}{2}=9\]

Donde \(x\) es el valor que quieres saber, este es llamado incógnita. En este caso, solo tenemos una, pero podemos tener varias \((x, y, z \ldots)\). Ejemplos de ecuaciones:

\[x+2 y=0\]

\[x^{3}+y=2 z\]

\[7 x y=z+t\]

Esa es la idea, pero algo más, cuando hablamos de sistemas lineales, vamos a utilizar ecuaciones lineales. Para que una ecuación sea lineal, dos cosas tiene que ocurrir:

   \(\bullet\) Las incógnitas sólo pueden tener exponente igual a \(1\), es decir, no puede tener exponentes al cuadrado, o al cubo… 

   \(\bullet\) No tener dos o más incógnitas multiplicándose.

Es decir,

\[x^{3}+y=2 z\]

\[7 x y=z+t\]

No son ecuaciones lineales, la primera tiene \(x^{3}\) y la segunda tiene \(7xy\).

Sistemas lineales

Cuando hablamos de sistemas lineales estamos hablando de un conjunto de ecuaciones, con más de una incógnita. Y la solución del sistema, satisface simultáneamente a todas las ecuaciones.Y para representar un sistema, colocamos las ecuaciones dentro de una llave \(“\{”\). Por ejemplo:

\[\left\{\begin{array}{c}x+y=7 \\ 9 x-3 y=15\end{array}\right.\]

Es un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas.

\[\left\{\begin{array}{c}2 x-3 y+z=5 \\ -x+y-2 z=-8 \\ 5 x-y-3 z=0\end{array}\right.\]

Es un sistema lineal de \(3\) ecuaciones y \(3\) incógnitas. En los sistemas, los términos que no poseen ninguna incógnita, son llamados términos independientes. Cuando todos los términos independientes son iguales, decimos que tenemos un sistema lineal homogéneo. Ejemplo:

\[\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y=0 \\ -x+y=0\end{array}\right.\]

Es un sistema lineal homogéneo de dos ecuaciones.

Representación matricial de un sistema 

Observa este sistema:

\[\left\{\begin{array}{c}2 x-y+z-w=2 \\ x+y \quad+3 w=-1\end{array}\right.\]

¿Y si te digo que también puede ser escrito de esta manera?

\[\left\{\begin{array}{c}2 x-y+z-w=2 \\ x+y \quad+3 w=-1\end{array}\right.\]

Exacto, PODEMOS escribir un sistema en forma de matriz.

La primera matriz está compuesta por los valores (o coeficientes) que multiplica a cada una de las incógnitas, pero cuidado:

\[\text {Incógnitas diferentes usan columnas diferentes}\]

Entonces, en la primera columna colocamos los coeficientes de \(x\), en la segunda los de \(y\), en la tercera los de \(z\) y en la cuarta los de \(w\). Y cada ecuación del sistema tiene su línea. Después de armar esa ecuación, tenemos que multiplicar una matriz columna con las variables. Es importante que esta esté en el orden que armaste la matriz de los coeficientes.

Como en ese caso armamos la primera columna con los coeficientes de la variable \(x\), la primera variable a ser colocada es \(x\). Después igualamos una matriz con los términos independientes.

Y listo, esa es la representación matricial de un sistema. 

¡Vamos a los ejercicios!