Operaciones con vectores
Suma de vectores - Método del paralelogramo
¡Bienvenidos, espero que estén bien!
Para la suma, tenemos dos opciones:
\(\bullet\) Método del paralelogramo
\(\bullet\) Método del triángulo
Comencemos, imagina dos vectores:
Queremos saber su suma, pero ¿cómo podemos hacerlo?
Primer utilizaremos el método del paralelogramo:
Consta de lo siguiente, primero tenemos que colocar los vectores partiendo de un mismo origen. Recordando que si no cambiamos ni módulo, ni dirección, ni sentido, estos continúan siendo los mismos.
Entonces, ordenamos los vectores para que tenga un mismo origen, recordando no cambiar ninguna de las características del vector que queremos (básicamente solo lo “dibujaremos” en otro lugar).
Hecho lo anterior, procedemos a trazar una recta paralela al vector \(\vec{u}\), que comienza en el extremo del vector \(\vec{v}\).
Luego, trazamos otra línea, pero paralela al vector \(\vec{v}\), que comienza en el extremo del vector \(\vec{u}\).
Esa figura que acabamos de dibujar es una paralelogramo, por eso el método se llama así.
La suma de esos vectores es la recta que comienza en el origen \(O\) y termina en la intersección de las líneas trazadas.
En ese caso, si queremos saber el valor del módulo (longitud) de la suma, podemos usar la siguiente fórmula (vamos a llamar al vector \(\vec{u}+\vec{v}\) como \(\vec{R}\)):
\[R^{2}=u^{2}+v^{2}+2 \times u \times v \times \cos \theta\]
Donde:
\(R\) es el módulo de la suma
\(u\) y \(v\) son los módulos de cada vector.
\(\theta\) es el ángulo de los vectores \(u\) y \(v\) (cuando ambos están en el mismo punto de origen)
Ejemplo:
Dos vectores tienen direcciones perpendiculares, \(\vec{u}\) con módulo \(3\) y \(\vec{v}\) con módulo \(5\), calcule el vector resultante:
Por el método del paralelogramo, vamos a usar la fórmula
\[R^{2}=u^{2}+v^{2}+2 \times u \times v \times \cos \theta\]
Donde tenemos:
\[u=3\]
\[v=5\]
\(\theta = {90}\) o perpendicular.
\[R^{2}=3^{2}+5^{2}+2 \times 3 \times 5 \times \cos 90\]
Como tenemos que \(\cos 90 = {0}\)
\[R^{2}=9+25\]
\[R=\sqrt{34}\]
Entonces, podemos concluir que el método del paralelogramo consta de tres pasos:
\(1.\) Colocar los vectores partiendo de un mismo punto de origen.
\(2.\) Trazas las líneas paralelas.
\(3.\) Encontrar el vector correspondiente a la soma.
Suma de vectores - Método del triángulo
El segundo procedimiento de resolución es el método del triángulo:
Usaremos los mismos vectores
En este caso, en lugar de colocar ambos partiendo de un mismo punto, posicionamos a uno de los vectores saliendo del extremo del otro:
Si queremos colocar el vector \(\vec{v}\) en el extremo del vector \(\vec{u}\) también es válido.
Hecho lo anterior, la suma es el vector que comienza en el origen del primer vector y termina en el extremo del último, es decir:
Lo que hacemos es formar un triángulo.
Si queremos saber el módulo de la suma utilizamos:
\[R^{2}=u^{2}+v^{2}-2 \times u \times v \times c o s \theta\]
Donde
\(R\) es el módulo de la suma
\(u\) y \(v\) son los módulos de los vectores.
\(\theta\) es el ángulo entre los vectores \(u\) y \(v\).
Resta de vectores
Esta vez queremos restar los vectores:
O sea, queremos saber cuanto es \(\vec{u}-\vec{v}\), para resolver tenemos que recordar que
\[\vec{u}-\vec{v}\]
Es el vector opuesto de \(\vec{v}\), es decir, tienen el mismo módulo y dirección, pero sentidos contrarios.
Así que basta con ver esa diferencia como una suma:
\[\vec{u}+(-\vec{v})\]
Entonces solo debemos invertir la dirección de la flecha del vector \(\vec{v}\) en el dibujo, y luego resolver la suma.
Multiplicación por un escalar
Un escalar es un número cualquiera al que estamos acostumbrados \((1,8,-7 \ldots)\)
Cuando multiplicamos un vector por un escalar, solo cambiará su tamaño y el resultado del módulo será el escalar multiplicado por el módulo del propio vector.
Ejemplo:
O sea, si tenemos un vector \(\vec{u}\), y queremos multiplicarlo por \(2\). Se convierte en el doble de su tamaño original. Y seguimos el mismo procedimiento para todo escalar.
Y si nos dan el valor del módulo vector y queremos saber el valor del resultado del módulo de \(\overrightarrow{2 u}\), simplemente multiplicamos el módulo por el escalar:
Por ejemplo:
\[|u|=3\]
\[|2 u|=2 \times 3=6\]
¡Eso es todo, vamos a los ejercicios!
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