Fórmula de Bhaskara - Suma y Producto de raíces
Una de las cosas más importantes en las funciones de 2do grado es encontrar las raíces.
Para hallar la raíz en una función de primer grado bastaba con igualar la ecuación a cero y despejar \(x\).
\[3 x^{2}+2 x+5=0\]
¿Pero cómo vamos a despejar \(x\) en una ecuación de este tipo?
Como puedes notar, el término \(x^{2}\) complica el hecho de despejar la ecuación fácilmente.
¿Pero entonces, será que no existe ningún método para encontrar los valores de \(x\)?
¡NO TE PREOCUPES!
Claro que existe, es conocido como la fórmula de Bhaskara.
Definición
Repaso:
La función de 2do grado es dada por:
\[f(x)=a x^{2}+b x+c\]
La fórmula de Bhaskara está dividida en dos partes.
Parte 1
Primero, necesitamos encontrar delta.
“¿Qué? ¿Delta?”
Relajate, es fácil.
\[\Delta=b^{2}-4 \bullet a \bullet c\]
Parte 2
Bien, hallamos delta. ¿Qué sigue?
Lo siguiente es encontrar los valores de \(x\), para lo cual también existe un fórmula:
\[x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \bullet a}\]
Es común encontrar ambas fórmulas en una sola, como esta:
\[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 \bullet a \bullet c}}{2 \bullet a}\]
Aplicación
Veamos cómo funciona en la práctica.
Encuentre los valores de \(x\) en la ecuación \(x^{2}+5 x+4=0\).
En este caso, tenemos:
\[a=1\]
\[b=5\]
\[c=4\]
Debemos hallar el valor de \(\Delta\).
\[\Delta=(5)^{2}-4 \bullet 1 \bullet 4\]
\[\Delta=25-16\]
\[\Delta=9\]
Hallamos que \(\Delta=9\), ahora necesitamos hallar los valores de \(x\)
\[x=\frac{-(5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}\]
\[x=\frac{-5 \pm 3}{2}\]
A continuación, vamos a dividirlo en dos casos, para \(+3\) y para \(-3\).
\[x^{\prime}=\frac{-5+3}{2}=\frac{-2}{2}=-1\]
\[x^{\prime \prime}=\frac{-5-3}{2}=\frac{-8}{2}=-4\]
Y finalmente, hallamos que los valores de \(x\) son \(-1\) y \(-4\).
¿Quieres comprobar el procedimiento? Reemplaza los valores encontrados en la ecuación.
Posibles Deltas
Existen tres casos para deltas:
1er Caso
\(\Delta>0\)
En estos casos, la ecuación tendrá dos raíces.
Gráficamente es interpretado así:
2do Caso
\(\Delta=0\)
En estos casos, la ecuación solo tendrá una raíz
Gráficamente es interpretado así:
3er Caso
\(\Delta<0\)
En estos casos, la ecuación no tendrá raíz real.
Suma y Producto de las raíces
Como su nombre dice, este método establece la relación entre la suma y la multiplicación de raíces.
Tenemos que:
\[x^{\prime}+x^{\prime \prime}=-\frac{b}{a}\]
\[x^{\prime}\bullet x^{\prime \prime}=\frac{c}{a}\]
Siendo \(a\) y \(b\) los valores de los coeficientes obtenidos en la ecuación.
Con este montón de letras parece complicado, pero con un ejemplo práctico, verás lo fácil que es...
Aplicando
Vamos a encontrar las raíces de la ecuación \(x^{2}-7 x+12\).
En este caso, tenemos:
\(a=1\)
\(b=-7\)
\(c=12\)
Vamos a sustituir esos valores en la fórmula de la multiplicación
\[x^{\prime} \cdot x^{\prime \prime}=\frac{c}{a}\]
\[x^{\prime} \cdot x^{\prime \prime}=\frac{12}{1}\]
Tenemos que \(x^{\prime} \cdot x^{\prime \prime}=12\), ahora debemos pensar cuáles valores podrían asumir \(x^{\prime}\) y \(x^{\prime \prime}\) para que multiplicados dieran \(12\).
\[1 \cdot 12=12\]
\[2 \cdot 6=12\]
\[3 \cdot 4=12\]
Recuerda estos números, serán importantes al final.
Ahora usaremos la fórmula de la suma.
\[x^{\prime}+x^{\prime \prime}=-\frac{b}{a}\]
\[x^{\prime}+x^{\prime \prime}=-\frac{(-7)}{1}\]
¡MIRA EL SIGNO!
\[x^{\prime}+x^{\prime \prime}=\frac{7}{1}\]
De la misma forma que lo hicimos antes, debemos pensar cuáles valores pueden asumir \(x^{\prime}\) y \(x^{\prime \prime}\) que sumados den \(7\).
\[6+1=7\]
\[5+2=7\]
\[3+4=7\]
Tenemos que \(3+4=7\) y \(3 \bullet 4=12\); a través de este método sabemos que las raíces de la ecuación son \(x=3\) y \(x=4\).
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