Introducción a los vectores y a las matrices

Introducción a los vectores

¡Bienvenido, espero que estén bien!

Ya debes haber escuchado mucho sobre las magnitudes.

Por ejemplo, cuando quieres comprar \(1 m\) de tela, estás utilizando una magnitud escalar.

Este tipo de magnitud está representada por un solo valor, en muchos de los casos saber este valor es suficiente.

Sin embargo, existen situaciones en que solo el valor numérico no es suficiente, como la velocidad, no basta con saber cuál es su valor numérico (llamado módulo). Sino que también queremos saber cuál es la dirección y el sentido en el cual esa velocidad está yendo.

Por eso existen los vectores, estos traen más información para las magnitudes escalares que vemos normalmente.

Representación de un vector

El vector es representado a través de una flecha, que comienza en un punto y termina en otro.

Por ejemplo:

Como puedes observar, este vector comienza en el punto \(O\), llamado origen, y termina en el punto \(P\), llamado extremo.

La notación que tenemos para un vector es una letra minúscula con una flecha encima, o sea:

\[\vec{v}\]

También puede ser escrito usando los puntos de origen y extremo:

\[\overrightarrow{O P}\]

Cuando queremos saber el valor de la coordenada que representa el vector restamos el punto extremo menos el punto de origen. Es decir:

\[\vec{v}=O P=P-O\]

Observa que, usar esta flecha nos muestra lo que queríamos saber antes:

\(\bullet\) Módulo (longitud, o tamaño).

\(\bullet\) Dirección (posición horizontal, vertical, norte, sur, este, oeste,…)

\(\bullet\) Sentido (de \(O\) a \(P\)).

Tipos de vectores

Veamos qué tipos de vectores existen:

\(\bullet\) Vectores equipolentes:

Dos o más vectores son iguales cuando poseen el mismo módulo, dirección y sentido.

\(\bullet\) Vectores opuestos:

Dos o más vectores son opuestos cuando poseen el mismo módulo y dirección. Pero el sentido es contrario.

\(\bullet\) Vector unitario:

Cuando el módulo del vector es uno, tenemos un vector unitario.

\(\bullet\) Vectores colineales:

Decimos que dos o más vectores son colineales si estos poseen la misma dirección, pueden ser paralelos o estar en la misma recta.

\(\bullet\) Vectores coplanares:

Cuando dos o más vectores están en el mismo plano, decimos que son coplanares.

Dos vectores siempre son coplanares, sin embargo, \(3\) no pueden serlo.

Introducción a las matrices

Observa lo siguiente:

Ya debes haber visto algo así, esta es una matriz.

\[\left(\begin{array}{cc}2 & 7 \\ 10 & 0\end{array}\right)\]

Una matriz puede ser vista como una tabla, con \(\bf {m}\) filas y \(\bf {n}\) columnas.

En este caso tenemos dos filas y dos columnas, y cada uno de los elementos, es llamado términos de la matriz.

También puede ser vista como una tabla, por ejemplo, la cantidad de alumnos de dos clases que participaron en una conferencia que tuvo lugar en el horario matutino y vespertino.

Representación genérica de una matriz

Cada uno de los términos de la matriz tendrá un “lugar” propio dentro la misma. Por eso se usa la notación:

\[a_{i j}\]

\(i\) es la fila donde se encuentra el término, y \(j\) es la columna.

Entonces, una matriz de forma general es:

Esta matriz solo tiene tres filas y tres columnas. Pero la idea del término sirve para cualquier matriz.

Oh, algo más:

Una matriz tiene la siguiente notación:

\[M_{m \times n}\]

O sea, siempre son letras minúsculas, con el índice \(m \times n\), donde \(m\) es la cantidad de filas y \(n\) es la cantidad de columnas. Además, se lee de la siguiente manera: “matriz \(m\) por \(n\)”.

En algunos ejercicios te darán el término general de la matriz y tu deberás armarla.

Por ejemplo:

Arma la matriz \(X_{2 \times 2}\), tal que:

\[\left\{\begin{array}{l}a_{i j}=1, i=j \\ a_{i j}=0, i \neq j\end{array}\right.\]

Ya que la matriz tendrá \(2\) filas y \(2\) columnas, su forma general será:

\[\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)\]

El término general de la matriz dice que cuando \(i=j\), el valor del término es \(1\), y si \(i \neq j\), el valor del término pasa a ser \(0\).

Hagamos cada elemento, primero:

\[a_{11}\]

Tenemos que \(i=1\) y \(j=1\), son iguales, por tanto, su término es:

\[a_{11}=1\]

Segundo:

\[a_{12}\]

Tenemos que \(i=1\) y \(j=2\), son diferentes, por tanto, su término es:

\[a_{12}=0\]

Tercero:

\[a_{21}\]

Tenemos que \(i=2\) y \(j=1\), son diferentes, por tanto, su término es:

\[a_{21}=0\]

Cuarto:

\[a_{22}\]

Tenemos que \(i=2\) y \(j=2\), son iguales, por tanto, su término es:

\[a_{22}=1\]

Terminamos todos lo términos, entonces armemos la matriz:

\[X_{2 \times 2}=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\]

Eso es todo, entonces armas los términos a partir del término general que te fue dado en el ejercicio.

Tipos de matrices:

A continuación, los tipos de matrices más utilizadas:

\(\bullet\) Matriz nula:

Todos los elementos de la matriz nula es igual a \(0\), independientemente de cuántas filas o columnas tenga. Ejemplos:

\[M_{1 \times 2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right)\]

\[B_{2 \times 3}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]

\[T_{3 \times 1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\]

\(\bullet\) Matriz columna

Es una matriz formada por una columna. Ejemplos:

\[F_{2 \times 1}=\left(\begin{array}{c}4 \\ -8\end{array}\right)\]

\[L_{3 \times 1}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 8 \\ -9\end{array}\right)\]

\(\bullet\) Matriz fila:

Es una matriz formada por una fila. Ejemplos:

\[M_{1 \times 2}=(9 \quad 3)\]

\(\bullet\) Matriz cuadrada:

Esta es una matriz bastante importante, porque el número de filas es igual al número de columnas \((\mathrm{m}=\mathrm{n})\), por ejemplo:

\[M_{3}=\left(\begin{array}{ccc}7 & 2 & 24 \\ 35 & 8 & 45 \\ 7 & 119 & 84\end{array}\right)\]

Observa que solo utilizamos un índice, para hacer \(m \times n\). Y decimos que la matriz es de \(3er\) orden, u orden \(n\).

\(\bullet\) Matriz identidad:

Es la matriz cuadrada de orden \(n\), porque todos los elementos de la diagonal principal son \(1\), mientras que el resto son \(0\).

La diagonal principal comienza en el primer término \(\left(a_{11}\right)\) y sigue en la diagonal \(\left(a_{22}, a_{33}, \ldots\right)\). Y es representada por la letra \(I\), y el índice es el orden de la matriz.

Ejemplo:

\[I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\]

\[I_{3=}\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\]

\(\bullet\) Matriz transpuesta:

Dada una matriz \(m \times n\), su transpuesta es el intercambio de filas con columnas.

Es decir:

\[A_{2 \times 3}=\left(\begin{array}{lll}0 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 9\end{array}\right)\]

Su transpuesta es:

\[A_{3 \times 2}^{t}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 5 & 3 \\ 2 & 9\end{array}\right)\]

O sea, la primera línea pasa a ser la primera columna, y así sucesivamente.

¡Vamos a los ejercicios!

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