Multiplicación y división de potencias

Introducción

En esta ocasión aprenderemos sobre la multiplicación y división de potencias. Lo primero que necesitamos es tener bases iguales o exponentes iguales. Las reglas para realizar la multiplicación o división NECESITAN de alguna de las dos. 

En caso de poseer los anteriores requisitos, podemos usar las propiedades o simplemente resolver la potenciación individualmente. 

Ejemplo 1:

\[2^{4} \times 3^{2}\]

No tenemos ni bases, ni exponentes iguales, entonces la única manera es resolver cada potenciación y después multiplicar. 

Sabemos que:

\(2^{4}=16\) y \(3^{2}=9\)

Entonces tenemos:

\[2^{4} \times 3^{2}=16 \times 9=144\]

Ejemplo 2:

\[\frac{16^{2}}{4^{1}}\]

Como no tenemos ni bases ni exponentes iguales, resolvemos cada uno de forma separada y luego dividimos. 

Comencemos con el numerador:

\[16^{2}\]

Como \(16\) es la base y vamos a multiplicarla por sí misma \(2\) veces (exponente). Entonces:

\[16^{2}=16 \times 16=256\]

Entonces el denominador:

\[4^{1}\]

Como el exponente es \(1\), entonces una de las propiedades dice que todo número elevado a \(1\) es sí mismo:

\[4^{1}=4\]

\[\frac{16^{2}}{4^{1}}=\frac{256}{4}=64\]

Eso es todo. Ya tenemos una idea de cómo resolver en este caso, a continuación veremos los casos en donde tanto las bases como los exponentes son iguales.

Multiplicación

Lo dividiremos en dos casos, cuando tenemos exponentes iguales y cuando tenemos bases iguales:

1. Exponentes iguales:

Cuando tenemos el producto de dos números elevados a un exponente, podemos elevar cada uno de los números separadamente y multiplicarlos:

\[(a \times b)^{n}=a^{n} \times b^{n}\]

Ejemplo:

\[2^{4} \times 1^{4}\]

Ambos poseen el mismo exponente, \(4\), entonces podemos juntarlos en un solo producto elevado al exponente \(4\):

\[2^{4} \times 1^{4}=(2 \times 1)^{4}=(2)^{4}=16\]

2. Bases iguales:

Cuando tenemos dos o más potencias de igual base que se están multiplicando, simplemente sumamos los exponentes y mantenemos la misma base. 

Es decir:

\[a^{n} \times a^{m}=a^{n+m}\]

Por ejemplo:

\[5^{6} \times 5^{8} \times 5^{-10}\]

Como todos poseen base \(5\), solo debemos sumar los exponentes:

\[5^{6} \times 5^{8} \times 5^{-10}=5^{6+8+(-10)}=5^{4}=625\]

Eso es todo, vamos a la división. 

División de potencias de igual base

1. Exponentes iguales:

Cuando tenemos una fracción como base, podemos elevar el numerador y el denominador de forma separada:

\[\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\]

Ejemplo:

\[\frac{36^{5}}{9^{5}}\]

Ambos poseen exponente \(5\), podemos considerarla como una fracción elevada a la quinta potencia:

\[\frac{36^{5}}{9^{5}}=\left(\frac{36}{9}\right)^{5}=(4)^{5}=1024\] 

2. Bases iguales:

Cuando tenemos una división de potencias de igual base, podemos restar los exponentes (el de arriba va primero en la resta), es decir:

\[\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}\]

Por ejemplo:

\[\frac{35^{67}}{35^{68}}\]

Haciendo la resta:

\[\frac{35^{67}}{35^{68}}=35^{67-68}=35^{-1}=\frac{1}{35} \approx 0,0286\]

¡Y acabamos, vamos a los ejercicios!