Teorema de Pitágoras

Uno de los principales temas cuando se trata de triángulos es el Teorema de Pitágoras.

“¿Para qué sirve ese teorema?”

Observa el siguiente triángulo:

Con Pitágoras podemos encontrar el valor de \(X\) con una simple fórmula. 

¡Pero presta atención!

Pitágoras solo puede ser aplicado en un triángulo rectángulo, que como vimos anteriormente, es aquel que tiene uno de sus ángulos internos igual a \(90^{\circ}\).

Introducción

Definición: en un triángulo rectángulo, tenemos que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. 

¿CATETO? ¿HIPOTENUSA? ¿QUE?

Tranquilo… se que puede asustar un poco al principio pero es bastante simple.

Primero, vamos a comprender que es la hipotenusa y los catetos.

En un triángulo rectángulo, los catetos siempre serán los lados apoyados en el ángulo recto, mientras que la hipotenusa siempre estará opuesta al ángulo recto.

Por conveniencia, podemos decir que:

 \(\bullet\) Hipotenusa \(=a\).

 \(\bullet\) Cateto \(=b\).

 \(\bullet\) Otro cateto \(=c\).

De esta manera llegamos a la fórmula de Pitágoras.

\[a^{2}=b^{2}+c^{2}\]

Relaciones importantes

Ya sabemos que el teorema de Pitágoras solo puede ser aplicado en triángulos rectángulos. ¿Pero habrá alguna forma en que pueda ser aplicado en otro tipo de triángulos?

¡SI! Y es por eso que Pitágoras es tan importante cuando hablamos de triángulos… 

Observa el siguiente triángulo:

Al principio no sabemos aplicar Pitágoras porque no se trata de un triángulo rectángulo. 

En casos como este, trazamos una recta que conecta uno de los vértices con el lado opuesto.

Al hacer esto, obtendremos dos triángulos rectángulos y así, podremos aplicar Pitágoras en cada uno de ellos. 

De ese modo podemos separar un triángulo inicial en dos triángulos rectángulos y así podemos aplicar Pitágoras para encontrar la longitud de sus lados. 

Aplicaciones

¿Qué te parece si vemos cómo funciona en la práctica?

Determine la longitud del lado no conocido del siguiente triángulo:

Por la fórmula sabemos que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado.

\[a^{2}=b^{2}+c^{2}\]

Bien, pero ¿Cuál es la hipotenusa?

Recuerda que la hipotenusa es aquella que está opuesta al ángulo de \(90^{\circ}\).

Ahora que sabemos cuál es la hipotenusa, colocamos los datos en la fórmula, de este modo, tendremos que:

\[10^{2}=6^{2}+X^{2}\]

\[100=36+X^{2}\]

\[100-36=X^{2}\]

\[X^{2}=64\]

\[X=\sqrt{64}\]

\[X=8\]

“TCHARAN”

Ya está resuelto, por el teorema de Pitágoras fuimos capaces de encontrar que la longitud del lado restante es \(8\) metros.

Resumen

Recapitulando:

   \(1.\) Aplicamos el teorema de Pitágoras SOLO en triángulos rectángulos

   \(2.\) Los catetos son adyacentes en relación al ángulo de \(90^{\circ}\).

   \(3.\) La hipotenusa siempre está opuesta al ángulo de \(90^{\circ}\).

   \(4.\) Podemos trazar una recta que conecte uno de los vértices con su lado opuesto, formando así, dos triángulos rectángulos.

   \(5.\) La fórmula del teorema de Pitágoras es dada por:

\[a^{2}=b^{2}+c^{2}\]

El resto de los ejercicios que involucran Pitágoras serán una variación del ejemplo que hicimos. 

Lo importante es que practiques mucho ¡Vamos a los ejercicios!