Racionalización de radicales

Introducción

¡Bienvenidos, espero que estén bien!

Observa las siguientes fracciones:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \frac{\sqrt{3}}{3}\]

¿Sabías que son equivalentes?

Si, de verdad. Si resuelves la operación, el resultado será igual para ambas fracciones. 

Observa la primera fracción:

\[\frac{1}{\sqrt{3}}\]

Como podemos apreciar, tenemos una raíz en el denominador, y al tratarse de fracciones, por un mero hecho de facilitar el cálculo manual, NUNCA QUERRÁS TENER RAÍCES EN EL DENOMINADOR.

De verdad, cada vez que te encuentres con fracciones con raíces en el denominador, debes eliminarlas.

Pero para hacer eso, debemos aplicar la RACIONALIZACIÓN.

La racionalización es un proceso en el cual se transforma una expresión, la cual es una fracción con raíz en el denominador, en otra equivalente sin raíz en el denominador. 

Para ello utilizaremos algo llamado FACTOR RACIONALIZANTE, este nos permitirá tener una fracción sin raíces en el denominador. 

Volviendo al ejemplo del inicio, la fracción fue racionalizada multiplicando \(\sqrt{3}\) (factor racionalizante), tanto en el numerador como en el denominador de la fracción:

\[\frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Bien, pero ¿Cómo sabemos qué factor utilizar? 

No pierdas la calma, a continuación veremos tres casos. Para que cuando estés en los ejercicios puedas saber qué hacer.

Factor racionalizante

• 1er Caso: denominador con una raíz cuadrada

Por ejemplo:

\[\frac{5}{2 \sqrt{5}}\]

Como podemos observar tenemos una raíz cuadrada en el denominador. 

El factor racionalizante en estos casos, siempre será la propia raíz. Entonces en el ejemplo, el factor será \(\sqrt{5}\), por tanto, debemos multiplicar el numerador y el denominador por el mismo:

\[\frac{5 \times \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \times \sqrt{5}}\]

Resolviendo:

\[\frac{5 \times \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \times \sqrt{5}}=\frac{5 \sqrt{5}}{2 \times 5}=\frac{\sqrt{5}}{2}\]

No olvides que en estos casos el factor racionalizante es la raíz cuadrada.

• 2do Caso: denominador con una raíz, donde el índice es diferente a dos.

En este caso, tendremos una fracción donde el denominador es algo así:

\[\sqrt[n]{a^{m}}\]

El factor racionalizante será:

\[\sqrt{a^{n-m}}\]

Ejemplo:

\[\frac{1}{\sqrt[3]{7}}\]

En el denominador tenemos una raíz cúbica, entonces, entramos en el segundo caso.

Utilizando la fórmula del factor integrante:

\[\sqrt{a^{n-m}}\]

\(“n”\) es el índice de la raíz que tenemos en el denominador. 

\(“a”\) es el radicando de la raíz 

\(“m”\) es el valor al cual el radicando está siendo elevado

En este caso el denominador es:

\[\sqrt[3]{7}\]

Tenemos que \(n=3\), \(a=7\) y \(m=1\).

Entonces, el factor es:

\[\sqrt[3]{7^{3-1}}=\sqrt[3]{7^{2}}\]

Ahora debemos multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción original:

\[\frac{1 \times \sqrt[3]{7^{2}}}{\sqrt[3]{7} \times \sqrt[3]{7^{2}}}\]

Finalmente, escribimos la raíces en forma de potencia y resolvemos:

\[\frac{\sqrt[3]{7^{2}}}{\sqrt[3]{7} \times \sqrt[3]{7^{2}}}=\frac{\sqrt[3]{7^{2}}}{7^{\frac{1}{3}} \times 7^{\frac{2}{3}}}=\frac{\sqrt[3]{7^{2}}}{7^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}}=\frac{\sqrt[3]{7^{2}}}{7}\]

Listo.

• 3er Caso: denominador con suma o resta, donde por lo menos uno de los elementos es una raíz cuadrada.

En este caso, el factor racionalizante será la misma suma (o resta) que tenemos en el denominador, lo único que cambiará es el signo, es decir:

Ejemplo:

\[\frac{1}{\sqrt{11}-3}\]

Tenemos una resta en el denominador, entonces esto aplica para el tercer caso.

Como tenemos \(\sqrt{11}-3\), el factor racionalizante será \(\sqrt{11}+3\) (solo cambia el signo).

Entonces multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción original.

\[\frac{1 \times(\sqrt{11}+3)}{(\sqrt{11}-3) \times(\sqrt{11}+3)}=\frac{\sqrt{11}+3}{11-9}=\frac{\sqrt{11}+3}{2}\]

Eso es todo, cuando lleguemos a un ejercicio donde sea necesario racionalizar debemos ver qué caso tenemos que aplicar. Una vez hecho eso, tenemos que multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción original.

¡Vamos a los ejercicios!