Semejanza de triángulos

¡Bienvenidos, espero que estén bien!

Probablemente has escuchado sobre la semejanza de triángulos, ¿Pero realmente sabes qué es?

Introducción

Definición: la similitud existente entre triángulos que poseen ángulos iguales (o congruentes) y, por tanto, sus lados correspondientes son proporcionales.

Tener ángulos congruentes significa que el valor de los ángulos es equivalente uno a uno. 

Es decir:

 \(\bullet\) Todos los ángulos \(\propto 1\) son equivalentes;

 \(\bullet\) Todos los ángulos \(\propto 2\) son equivalentes;

 \(\bullet\) Todos los ángulos \(\propto 3\) son equivalentes.

Ten en cuenta que si los ángulos son equivalentes, la longitud de los lados también lo será.

Casos de semejanza

Los casos de semejanza entre triángulos pueden ser clasificados de tres formas:

     \(1.\) AA (ángulo, ángulo) - Dos triángulos serán semejantes si dos de sus ángulos son iguales. 

     \(2.\) LLL (lado, lado, lado) - Dos triángulos serán semejantes si sus tres lados son proporcionales entre sí.

Para comprobar si realmente son semejantes debes dividir uno de los lados del triángulo por su equivalente en el otro.

En caso de que todos los lados sean iguales, podemos decir que son proporcionales.

\[\frac{15}{10}=\frac{12}{8}=\frac{9}{6}=X\]

Donde \(X\) será la razón de proporcionalidad.

Simplificando las fracciones, tenemos que:

Dividiendo por \(5\):

\[\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\]

Dividiendo por \(4\):

\[\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\]

Dividiendo por \(3\):

\[\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\]

De esa forma, podemos comprobar que los triángulos son semejantes y la razón entre ellos es \(X=\frac{3}{2}\).

     \(3.\)  LAL (lado, ángulo, lado) - Dos triángulos serán semejantes si poseen un ángulo congruente entre dos lados proporcionales.

Como los ángulos son iguales, debemos comprobar la proporción entre los lados. En caso de ser iguales, los triángulos serán semejantes.

\[\frac{23}{11,5}=\frac{18}{9}=X\]

Dividiendo por \(11,5\), tenemos:

\[\frac{23}{11,5}=\frac{2}{1}=X\]

Dividiendo por \(9\), tenemos:

\[\frac{18}{9}=\frac{2}{1}=X\]

La razón entre los lados es igual, entonces por el criterio LAL los triángulos son semejantes.

Teorema fundamental de la semejanza

Cuando agregamos una recta paralela a uno de los lados del triángulo de modo que esta intercepte los otros dos lados en puntos diferentes, se forma un nuevo triángulo semejante al primero.

Sabiendo esto, podemos hacer varios análisis cuando tenemos este tipo de casos:

\(1^{\circ}\)

\[\propto C=\propto D\]

\[\propto B=\propto E\]

\(2^{\circ}\)

\(-\) Los lados \(CA\) y \(DA\) son equivalentes.

\(-\) Los lados \(BA\) y \(EA\) son equivalentes.

\(-\) Los lados \(CB\) y \(DE\) son equivalentes.

\(3^{\circ}\)

El triángulo \(ABC\) es proporcional al triángulo \(ADE\).

Eso es todo ¡Vamos a los ejercicios!