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Calculisto

Funciones de \(1^{er}\) Grado

Introducción

 

¡Bienvenidos, espero que estén bien!

 

En esta ocasión estudiaremos más a detalle la Función de 1er Grado, así como su comportamiento gráfico.

 

Pero antes de eso debemos preguntarnos:

 

¿Qué es una función?

 

Casi siempre cuando hablamos de funciones, lo primero que viene a nuestra mente es:

 

\[f(x)=3 x+2\]

 

\[g(x)=8 x^{2}+3 x\]

 

\[h(x)=5 x^{3}+2 x^{2}+5\]

 

¿Pero realmente qué significa ser una función?

 

Para responder esa pregunta decimos que una función \(“g”\) es dada por \(g(x)=2 x+1\).

 

Cuando escribimos \(g(x)\) queremos decir que la función \(“g”\) varía conforme el valor de \(“x”\) también varía.

 

Es decir, para \(x=1\), la función será:

\[g(1)=2 \bullet(1)+1\]

 

\[g(1)=2+1\]

 

\[g(2)=2 \cdot(2)+1\]

 

Para \(x=2\)

\[g(1)=3\]

 

\[g(2)=4+1\]

 

\[g(2)=5\]

 

Y así sucesivamente...

 

¿Entendiste? Conforme los valores de \(“x”\) cambian, el valor de \(g(x)\) también cambia, por tanto, \(g\) está en función de \(“x”\).

 

Función de 1er Grado o Función Afín

 

Hagamos un repaso sobre algunos conceptos de funciones. 

 

¿Cómo se puede identificar una función de 1er grado?

 

Una función lineal viene dada por:

 

\[y=a x+b\]

 

Donde 

 

\(a \rightarrow\) coeficiente angular.

 

\(b \rightarrow\) coeficiente lineal.

 

Obs: \(y\) es lo mismo que \(f(x), g(x), h(x) \ldots\).

 

¿QUEEEE?

 

 

¡Tranquilo!

 

Con un ejemplo todo se torna más fácil… 

 

Observa la siguiente función:

 

\[f(x)=3 x+2\]

 

En este caso:

 

\(y=f(x)\):

 

\(a=3\);

 

\(b=2\).

 

Bien, ¿pero para qué sirven esos coeficientes?

 

Son importantes para cuando queremos estudiar el comportamiento gráfico de las funciones.

 

Gráfico de la Función de 1er grado

 

Memoriza esto:

 

“El gráfico de una función afín siempre será una RECTA

 

Y ahora, los valores de \(a\) y \(b\) serán muy útiles para entender los gráficos. 

 

\(a\) (coeficiente angular) - Será la inclinación de la recta.

 

\(b\) (coeficiente lineal) - Será el valor en que la función cruza el eje \(y\)-

 

 

¿Cómo trazamos el gráfico de una función afín?

 

Como el gráfico de una función afín es una recta, solo debemos encontrar los dos puntos por donde pasar la misma y trazar una línea.

 

Ejemplo

 

Vamos a realizar el gráfico de la función \(f(x)=3 x+2\).

 

Primero, debemos hallar los dos puntos por donde pasa la recta.

 

Dichos puntos pueden ser encontrados sustituyendo cualquier valor de \(x\), sin embargo, para facilitar los cálculos, podemos escoger \(x=0\) y \(x=1\).

 

Para \(f(0)\), tenemos:

\[f(0)=3 \bullet(0)+2\]

 

\[f(0)=0+2\]

 

\[f(0)=2\]

 

Para \(f(1)\), tenemos:

\[f(1)=3 \cdot(1)+2\]

 

\[f(1)=3+2\]

 

\[f(1)=5\]

 

De ese modo, encontramos los dos puntos que pertenecen a la recta, dados por los pares ordenados \(P(0,2)\) y \(P(1,5)\).

 

 

Finalmente, solo debemos trazar una recta pasando por dichos puntos:

 

 

Y así se traza el gráfico de la función \(f(x)=3 x+2\).

 

Raíz de una Función de 1er grado

 

En una recta que se extiende por todos los reales \(\mathbb{R}\), el eje \(y\) en algún momento tendrá un valor igual a cero.

 

Este punto ocurre gráficamente cuando la recta cruza el eje \(x\).

 

 

¿Pero cómo hallamos el valor de la raíz?

 

En una recta \(f(x)=a x+b, f(x)\) representa al eje \(y\).

 

De esa forma, si hallamos un valor de \(x\) que haga que \(f(x)=0\), esa será la raíz de la función.

 

Ejemplo: encuentre la raíz de la función \(f(x)=3 x+9\)

 

Primero, igualamos la función a cero.

\[3 x+9=0\]

 

Resolviendo… 

\[3 x=-9\]

 

\[x=-\frac{9}{3}\]

 

\[x=-3\]

 

Y ahí está, la recta cruza el eje \(x\) en \(x=-3\), entonces \(x=-3\) es la raíz de la función.

 

¿Fácil, verdad? ¡Vamos a los ejercicios!

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