Funciones de \(1^{er}\) Grado
Introducción
¡Bienvenidos, espero que estén bien!
En esta ocasión estudiaremos más a detalle la Función de 1er Grado, así como su comportamiento gráfico.
Pero antes de eso debemos preguntarnos:
¿Qué es una función?
Casi siempre cuando hablamos de funciones, lo primero que viene a nuestra mente es:
\[f(x)=3 x+2\]
\[g(x)=8 x^{2}+3 x\]
\[h(x)=5 x^{3}+2 x^{2}+5\]
¿Pero realmente qué significa ser una función?
Para responder esa pregunta decimos que una función \(“g”\) es dada por \(g(x)=2 x+1\).
Cuando escribimos \(g(x)\) queremos decir que la función \(“g”\) varía conforme el valor de \(“x”\) también varía.
Es decir, para \(x=1\), la función será:
\[g(1)=2 \bullet(1)+1\]
\[g(1)=2+1\]
\[g(2)=2 \cdot(2)+1\]
Para \(x=2\)
\[g(1)=3\]
\[g(2)=4+1\]
\[g(2)=5\]
Y así sucesivamente...
¿Entendiste? Conforme los valores de \(“x”\) cambian, el valor de \(g(x)\) también cambia, por tanto, \(g\) está en función de \(“x”\).
Función de 1er Grado o Función Afín
Hagamos un repaso sobre algunos conceptos de funciones.
¿Cómo se puede identificar una función de 1er grado?
Una función lineal viene dada por:
\[y=a x+b\]
Donde
\(a \rightarrow\) coeficiente angular.
\(b \rightarrow\) coeficiente lineal.
Obs: \(y\) es lo mismo que \(f(x), g(x), h(x) \ldots\).
¿QUEEEE?
¡Tranquilo!
Con un ejemplo todo se torna más fácil…
Observa la siguiente función:
\[f(x)=3 x+2\]
En este caso:
\(y=f(x)\):
\(a=3\);
\(b=2\).
Bien, ¿pero para qué sirven esos coeficientes?
Son importantes para cuando queremos estudiar el comportamiento gráfico de las funciones.
Gráfico de la Función de 1er grado
Memoriza esto:
“El gráfico de una función afín siempre será una RECTA”
Y ahora, los valores de \(a\) y \(b\) serán muy útiles para entender los gráficos.
\(a\) (coeficiente angular) - Será la inclinación de la recta.
\(b\) (coeficiente lineal) - Será el valor en que la función cruza el eje \(y\)-
¿Cómo trazamos el gráfico de una función afín?
Como el gráfico de una función afín es una recta, solo debemos encontrar los dos puntos por donde pasar la misma y trazar una línea.
Ejemplo
Vamos a realizar el gráfico de la función \(f(x)=3 x+2\).
Primero, debemos hallar los dos puntos por donde pasa la recta.
Dichos puntos pueden ser encontrados sustituyendo cualquier valor de \(x\), sin embargo, para facilitar los cálculos, podemos escoger \(x=0\) y \(x=1\).
Para \(f(0)\), tenemos:
\[f(0)=3 \bullet(0)+2\]
\[f(0)=0+2\]
\[f(0)=2\]
Para \(f(1)\), tenemos:
\[f(1)=3 \cdot(1)+2\]
\[f(1)=3+2\]
\[f(1)=5\]
De ese modo, encontramos los dos puntos que pertenecen a la recta, dados por los pares ordenados \(P(0,2)\) y \(P(1,5)\).
Finalmente, solo debemos trazar una recta pasando por dichos puntos:
Y así se traza el gráfico de la función \(f(x)=3 x+2\).
Raíz de una Función de 1er grado
En una recta que se extiende por todos los reales \(\mathbb{R}\), el eje \(y\) en algún momento tendrá un valor igual a cero.
Este punto ocurre gráficamente cuando la recta cruza el eje \(x\).
¿Pero cómo hallamos el valor de la raíz?
En una recta \(f(x)=a x+b, f(x)\) representa al eje \(y\).
De esa forma, si hallamos un valor de \(x\) que haga que \(f(x)=0\), esa será la raíz de la función.
Ejemplo: encuentre la raíz de la función \(f(x)=3 x+9\)
Primero, igualamos la función a cero.
\[3 x+9=0\]
Resolviendo…
\[3 x=-9\]
\[x=-\frac{9}{3}\]
\[x=-3\]
Y ahí está, la recta cruza el eje \(x\) en \(x=-3\), entonces \(x=-3\) es la raíz de la función.
¿Fácil, verdad? ¡Vamos a los ejercicios!
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