Problemas con Funciones de \(1^{er}\) Grado

Introducción

¡Bienvenidos, espero que estén bien!

Anteriormente, vimos qué es y cómo se comporta una función de 1er grado.

¿Pero dichas funciones serán capaces de simular situaciones cotidianas?

Imagina que necesitas tomar un taxi desde el aeropuerto hasta tu casa

El precio de la parada (valor inicial del viaje) es de \(6,00\) dólares, mientras que el precio por cada kilómetro recorrido es de \(2,00\).

El valor de la parada nunca varía, sin embargo, la cantidad de kilómetros recorridos dependerá del valor final del viaje. 

Siendo así, el valor del viaje varía conforme la distancia varía. Podemos llamar a la distancia recorrida como \(x\), y escribir la función:

\[f(x)=2 x+6\]

Siendo,

\(f(x) \rightarrow\) el valor total del viaje.

\(x \rightarrow\) la variable independiente.

\(6 \rightarrow\) el valor de la parada.

Armando el gráfico

Asignando valores a \(x\) podemos construir una tabla que nos ayude a entender el comportamiento de dicha función.

Y el gráfico sería así:

Ecuaciones de 1er grado

El siguiente paso luego de familiarizarse con las funciones es estudiar las ecuaciones.

Pero,… ¿Qué son las ecuaciones de 1er grado? ¿Y qué cambia en relación a las funciones?

En las funciones, \(x\) se comporta como una variable independiente, es decir, conforme el valor de \(x\) varía, el valor de \(f(x)\) también varía.

Y en la ecuación, \(x\) se comporta como una incógnita, es decir, \(x\) tendrá un valor específico que no varía.

Veamos un ejemplo… 

Resuelva la siguiente ecuación:

\[5 X-4=X+12\]

Despejando \(X\):

\[5 X-X=12+4\]

\[4 X=16\]

\[X=\frac{16}{4}\]

\[X=4\]

En esa ecuación \(X\) tiene un valor específico \(X=4\).

¿Notaste la diferencia?

Bien… ¿Pero por qué las ecuaciones son tan importantes para resolver problemas?

En muchos casos, los problemas te pedirán un valor específico de \(X\), y solo serás capaz de encontrarlo a través de una ecuación. 

Problema práctico

La diferencia de edad entre dos niñas es de \(12\) años. Sabiendo que la niña mayor tiene \(4\) veces la edad de la menor, determine la edad actual de ambas.

La edad de la niña mayor será \(X\), mientras que la de la menor será \(Y\).

Sabemos que la edad de la mayor es igual a \(4\) veces la edad de la menor. 

\[X=4 Y\]

También sabemos que la diferencia de edades entre ellas es de \(12\) años, entonces:

\[X-Y=12\]

Pero como sabemos que \(X=4 Y\), entonces vamos a sustituir aquí

\[4 Y-Y=12\]

Y tenemos la ecuación.

Resolviendola, podremos encontrar la edad de la niña menor.

\[4 Y-Y=12\]

\[3 Y=12\]

\[Y=\frac{12}{3}=4 \text { años}\]

Esa es la edad de la menor. Pero la mayor tiene \(4\) veces esa edad, es decir

\[X=4 Y=4 \cdot 4=16 \text {años}\] 

¿Ves como las funciones y las ecuaciones van de la mano a la hora de resolver problemas?

¡Vamos a los ejercicios!