Introducción a los Números Complejos
¡Bienvenidos, espero que estén bien!
Vamos a comenzar con esta ecuación:
\[x^{2}+4=0\]
“¡Eh, eh, eh! Es una ecuación de segundo grado; simplemente aplicamos Bhaskara o despejamos la \(x^{2}\)”
\[x^{2}=-4\]
\[x=\pm \sqrt{-4}\]
¿Recuerdas que siempre que encontrábamos raíces de números negativos decíamos que no había soluciones para la ecuación en el conjunto de los números reales?
Los matemáticos se encontraban con situaciones como esta todo el tiempo, sin embargo, se negaban a aceptar que no había solución en el conjunto, entonces simplemente hicieron esto: crear una nueva manera de resolver las cosas.
Y entonces surgió \(i\), que sería denotado por \(i=\sqrt{-1}\), dando inicio a un conjunto muy importante, que incluso abarca al conjunto de los reales: el conjunto de los números complejos \((\mathbb{C})\).
Finalmente podemos resolver:
\[x=\pm \sqrt{-4}=\pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1}=\pm 2 i\]
¡Bien! Para que tengas una noción de cuán importante son estos números, por el Teorema fundamental del álgebra, todo polinomio de grado mayor que cero \(n \geq 1\), tiene \(n\) raíces.
Representación cartesiana o algebraica
Bueno, volvamos al número complejo que encontramos:
\[x=\pm 2 i\]
Note que tenemos dos opciones: \(x=2 i\) o \(x=-2 i\). Escogeremos \(x=2 i\) para comenzar, que por cuestión de notación, escribiremos como:
\[z=2 i\]
Ten en cuenta que es lo mismo que escribir:
\[z=0+2 i\]
El número complejo está compuesto por una parte real, que llamaremos \(\operatorname{Re}(z)\) y una parte imaginaria, que llamaremos \(\operatorname{Im}(z)\), este acompaña a \(i\). Entonces en este caso, tenemos:
\[\operatorname{Re}(z)=0\]
\[\operatorname{Im}(z)=2\]
Esta es la representación cartesiana:
\[z=a+b i\]
Donde \(a\) y \(b\) son números reales y tenemos que:
\[\operatorname{Re}(z)=a\]
\[\operatorname{Im}(z)=b\]
Cuando la parte real \((\operatorname{Re}(z))=0\), decimos que es un número puramente imaginario, es decir, solo existe en \(i\).
Conjugado de un número complejo
Dado un número complejo
\[z=a+b i\]
El conjugado de este es
\[\bar{z}=a-b i\]
Es decir, solo debemos cambiar el signo de la parte imaginaria.
Ejemplo:
\[z=2-3 i\]
El conjugado de este complejo será:
\[\bar{z}=2-(-3) i\]
\[\bar{z}=2+3 i\]
¿Entiendes?
Representación gráfica
Compañero, ahora verás que los números complejos no son tan complejos. Solo se trata de una nueva forma de escribir números. Yendo nuevamente al plano cartesiano \(XY\):
En este plano, está representado el punto \((a, b)\). ¿Recuerdas?
La buena noticia es que podemos representar \(z=a+b i\) en un plano parecido a este, solo que renombrando los ejes. Mira:
Si \(i\) desaparece, solo representamos la parte real en el eje real, y la parte imaginaria en el eje imaginario. Este nuevo plano es llamado: plano complejo de Argand-Gauss.
Veamos algunos ejemplos de complejos representados en el plano:
\[z_{1}=1+i\]
\[z_{2}\]
\[z_{2}=-2 i\]
\[z_{3}=3\]
Si, un número real también está en el conjunto de los complejos, después de todo:
\[z=3\]
\[z=3+0 i\]
Representación trigonométrica
“¡Nooo, trigonometría no!”
Tranquilo, en los complejos es bastante simple. Primero, vamos a introducir dos conceptos:
\[\text {Dado un complejo } z=a+b i\]
\[\text {argumento del complejo } z=\arg (z)=\theta=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)\]
\[\text {Módulo del complejo } z=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\]
Veamos gráficamente cada uno de esos conceptos. Comenzando por el módulo, que llamamos \(r\):
\[z=1+i\]
\[r=|z|=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{2}\]
Observa que tenemos un triángulo rectángulo, y el módulo es justamente la hipotenusa de ese triángulo.
Veamos gráficamente el argumento \(\theta\):
Ten en cuenta que el argumento el ángulo que el segmento \(O Z\) y el eje real.
Nuevamente, como tenemos un triángulo rectángulo, podemos relacionar el argumento con los lados del triángulo. La relación es la siguiente:
\[\operatorname{tg}(\theta)=\frac{b}{a} \Rightarrow \theta=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)\]
La forma trigonométrica es:
\[z=a+b i \rightarrow z=|z|(\cos (\theta)+i \operatorname{sen}(\theta))\]
O simplemente escribimos:
\[z=|z| \operatorname{cis}(\theta)\]
Donde \(\operatorname{cis}(\theta)=\cos (\theta)+i \operatorname{sen}(\theta)\).
En este ejemplo, \(|z|=\sqrt{2}\) y \(\theta=\frac{\pi}{4}\). Entonces tendremos:
\[z=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\]
Si haces esta multiplicación, obtendrás el mismo complejo \(z=1+i\).
Representación polar
Esta representación es parecida a la trigonométrica, de hecho, muchas veces hasta son dadas como iguales. La única cosa que usamos aquí es que:
\[\operatorname{cis}(\theta)=(\cos (\theta)+i \operatorname{sen}(\theta))=e^{i \theta}\]
Entonces el complejo \(z=a+b i\):
\[z=r e^{i \theta}\]
Donde:
\[r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\]
\[\theta=\arg (z)=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)\]
Entonces si representamos a \(z=1+ i\) como:
\[z=\sqrt{2} e^{i\left(\frac{\pi}{4}\right)}\]
Ejemplo completo
Represente gráficamente, de el conjugado, y represente en forma trigonométrica y polar el siguiente complejo:
\[z=i\]
Bien, representando gráficamente:
El conjugado simplemente será \(z\) cambiando la parte imaginaria por su opuesto:
\[z=i\]
\[\bar{z}=-i\]
Para la forma trigonométrica, simplemente miramos la figura para así notar que tenemos un ángulo recto, así:
Sin embargo, no siempre será así, entonces vamos a calcular \(\theta\):
\[\operatorname{tg}(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{0}\]
Y eso no existe, así que lo correcto es hacer el límite:
\[\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x}=\infty \space \text{ o } \space \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x}=-\infty\]
Entonces debemos pensar en ángulos de \(0\) a \(2 \pi\) que posean tangente tendiendo al infinito:
\[90^{\circ}=\frac{\pi}{2}\] y \[270^{\circ}=\frac{3 \pi}{2}\]
Pero como el complejo está en la frontera entre el primero y el segundo cuadrante, este debe ser \(\frac {\pi}{2}\).
\[\arg (z)=\theta=\frac{\pi}{2}\]
Y calculando el módulo de \(z\):
\[|z|=r=\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}}=1\]
Finalmente, la forma trigonométrica es:
\[z=|z| \operatorname{cis}(\theta)=|z|(\cos (\theta)+i \operatorname{sen}(\theta))\]
\[z=\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\]
Por último, vamos a la forma polar, que simplemente es escribir un complejo \(z= a + bi\) como
\[z=r e^{i \theta}\]
Donde \(r=|z|\) y \(\theta=\arg (z)\)
Ya sabemos que \(r=|z|=1\) y \(\theta=\arg (z) = \frac {\pi}{2}\)
\[z=e^{i\left(\frac{\pi}{2}\right)}\]
Espero que hayas entendido, ¡vamos a los ejercicios!
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