Operaciones con matrices

Suma y resta

¡Bienvenidos, espero que estén bien! En esta ocasión estudiaremos las diferentes operaciones con matrices. Comenzaremos con la suma y resta:

Ejemplo:

\[\left(\begin{array}{cc}2 & 8 \\ 7 & -4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 0 & 3\end{array}\right)\]

La idea es que sumes (o restes) elemento con elemento, es decir, el primer término de una matriz con el primer término de la otra, y así sucesivamente, de esa forma:

Del resto, es resolver la operación:

\[\left(\begin{array}{cc}2+5 & 8+(-1) \\ 7+0 & (-4)+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7 & 7 \\ 7 & -1\end{array}\right)\]

Esa es la noción básica de tanto la suma como la resta de matrices. Lo único que debes tener en cuenta es que al sumar matrices, éstas deben poseer el mismo número de filas y columnas.

Multiplicación por escalar

Hacer la multiplicación de una matriz por un escalar es simple, solo se deben multiplicar todos los términos de la matriz por ese escalar, es decir, dicho escalar entra en la matriz multiplicando todo los términos:

Ejemplo:

\[-4 \times\left(\begin{array}{ccc}6 & 1 & 0 \\ 2 & 8 & 5 \\ -1 & 12 & -9\end{array}\right)\]

El escalar entrará en la matriz multiplicando cada término:

\[-4 \times\left(\begin{array}{ccc}6 & 1 & 0 \\ 2 & 8 & 5 \\ -1 & 12 & -9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-4 \times 6 & -4 \times 1 & -4 \times 0 \\ -4 \times 2 & -4 \times 8 & -4 \times 5 \\ -4 \times-1 & -4 \times 12 & -4 \times-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-24 & -4 & 0 \\ -8 & -32 & -20 \\ 4 & -48 & 36\end{array}\right)\]

Bien, el procedimiento es el mismo para cualquier cantidad de filas y columnas de la matriz.

Multiplicación entre matrices

Para resolver la multiplicación entre dos matrices \((\mathrm{A} \text { y } \mathrm{B})\) necesitamos que ocurra esto:

\[A_{m \times n} \times B_{n \times p}=C_{m \times p}\]

El número de columnas de la matriz \(A\) debe ser igual al número de filas de la matriz \(B\), en ese caso ambas son \(n\). Y el resultado siempre será igual a la cantidad de filas de la primera y la cantidad de columnas de la segunda.

CUIDADO: En el caso de las matrices \(A \times B \neq B \times A\)

Así que siempre tendrás que cuidar que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda.

Genial, pero ¿Cómo resolvemos esa multiplicación?

Memoriza esta frase:

“Fila por columna”

Cuando multiplicamos matrices, tomamos la primera línea de la matriz \(A\) y la multiplicamos por la primera columna de la matriz \(B\), luego la segunda, hasta acabar las columnas de la matriz \(B\). Por tanto, estaremos calculando cada uno de los términos de la matriz resultante de la multiplicación. 

Luego pasamos a las otras líneas de la matriz \(A\), siempre repitiendo el mismo procedimiento. Hasta acabar toda la matriz:

Ejemplo:

\[A_{2 \times 2}=\left(\begin{array}{ll}3 & 8 \\ 1 & 0\end{array}\right)\]

\[B_{2 \times 2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 5\end{array}\right)\]

Vamos a calcular \({A} \times {B}\), observa que la matriz \(A\) tiene \(2\) columnas y la matriz \(B\) tiene \(2\) filas, al ser iguales, podemos multiplicar:

\[\left(\begin{array}{ll}3 & 8 \\ 1 & 0\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 5\end{array}\right)\]

Multiplicamos la primera fila de la matriz \(A\) con la primera columna de la matriz \(B\):

Continuando en la primera fila de la matriz \(A\), vamos a multiplicar la segunda columna de \(B\):

Terminamos la primera línea, vamos a la segunda y a la primera columna nuevamente:

Para finalizar vamos a multiplicar la segunda columna:

Por último, resolvemos la expresión para cada término y obtenemos el resultado:

\[A \times B=\left(\begin{array}{cc}3 & 46 \\ 1 & 2\end{array}\right)\]

¡Eso es todo, vamos a los ejercicios!