Elementos de la Lógica y Lenguaje Matemático

¡Sean todos bienvenidos! En esta ocasión nos adentraremos en el mundo de la lógica matemática.

 

Debes estar pensando: “Para mí, no tiene lógica alguna, nunca entiendo nada”

 

Pero en esta ocasión empezarás a entender.  Para comenzar, te diré el por qué tenemos que aprenderla: al igual que cualquier idioma, las matemáticas tienen su propio lenguaje.

 

“¿Por qué?”

 

Porque las grandes mentes pensaron que toda esta información debía volverse universal, para que todos pudieran interpretarla correctamente.

 

Lo que más complica la vida del estudiante es que, a veces, los términos matemáticos tienen significados bastante específicos y diferentes de lo que estamos acostumbrados. Sin embargo, no te preocupes, haré todo lo posible para que puedas entender con más claridad este nuevo lenguaje.

 

¿Qué son las proposiciones?

 

Bien, tenemos dos teorías relacionadas a la lógica. Pero, lo interesante, es que trabajaremos con un mismo concepto en las dos: las proposiciones.

 

Si, las proposiciones son muy importantes, y seremos unos expertos en ellas.

 

¿Sabes que es una proposición o has escuchado algo al respecto?

 

Las proposiciones matemáticas no son más que frases (u oraciones) las cuales son atribuidas a un valor de VERDADERO  o FALSO. 

 

Por ejemplo:

 

• \(" 2+5=7 "\)

 

• Yo soy una persona

 

• \({"} 2^{234}+3^{567}\space \text{es primo}"\)

 

Todas esas frases son proposiciones, pues podemos decir que son verdaderas o falsas. Observa el ejemplo de una frase que NO es una proposición:

 

\[\text { Hoy hace calor.}\]

 

No podemos decir que es verdadero o falso, porque no sabemos lo que es estar caliente; necesitaríamos una temperatura de comparación. Otro ejemplo:

 

\[\text {¿Vamos comer}?\]

 

¿Podemos decir si es verdadero o falso? No, ¿verdad? Por tanto, no es una proposición.

 

En toda teoría usaremos las letras \(p, q, r\) y \(s\) para identificar una proposición, ¿entendido? ¡Vamos a allá!

 

Proposiciones abiertas

 

Vamos a estudiar algunas proposiciones que estaremos viendo a lo largo de esta teoría, e identificaremos cada elemento:

 

\[p(x)=" x \in \mathbb{N} \mid 2<x<7 "\]

 

Notaste que no existe manera en que podemos determinar si es VERDADERO o FALSO, pues no podemos juzgarlo mediante ese razonamiento, estos casos son llamados proposiciones abiertas (justamente porque el valor de verdadero o falso queda abierto), donde la proposición depende de una o más variables (\(p(x), p(x, y)\)).

 

Para comenzar, observe que al principio tenemos \(p(x)\). Como te he dicho, \(p\) es la manera en la que identificamos la proposición y escribimos \(p(x)\), pues es una proposición que tiene una variable \(x\) unida a ella.

 

El conjunto de los números naturales es nuestro dominio de discurso, es decir, sustituimos \(x\) por el número que pertenezcan al conjunto de los naturales, TAL QUE (aquel símbolo \(\mid \)) la \(x\) esté entre el \(2\) y \(7\).

 

Bien, sabemos que no podemos juzgar a \(p(x)\), pero podemos juzgar, por ejemplo, \(p(3)\). O sea, vamos a sustituir \({x}\) por \({3}\) y comprobar si es verdad: 

 

\[p(3)=" 3 \in \mathbb{N} \mid 2<3<7 "\]

 

Genial, es verdadero, ¿concuerdas conmigo? \(3\) pertenece a los naturales y se encuentra entre \(2\) y \(7\). Serán los números \(3,4,5\) y \(6\). Entonces el conjunto:

 

\[\{3,4,5,6\}\]

 

Es llamado valor de verdad .Este es el conjunto de términos que hacen que la proposición sea verdadera.

 

¡Genial! Hablamos acerca de todo lo importante en una proposición abierta: variable, dominio de discurso y valor de verdad.

 

Proposiciones Universales y Particulares 

 

Usando las proposiciones abiertas, podemos hacer afirmaciones sobre todos los elementos de un conjunto, usando el cuantificador universal \(\forall\) que significa “para todo”, “para cada” o “cualquiera que sea”. Se llama cuantificador porque expresa una cantidad. 

 

Mira un ejemplo: 

 

• Para escribir simbólicamente la proposición “Para todo número natural tenemos que \(2 n\) es par”:

 

\[\forall n \in \mathbb{N}, 2 n \text { es par}\]

 

O

 

\[\forall n \in \mathbb{N}, p(n)\]

 

En que \(p(n)=" 2 n \text { es par }”\)

 

Observe que el “tenemos que” está representado por una coma. 

 

Además, también podemos hacer afirmaciones sobre por lo menos un elemento de un conjunto, usando el cuantificador existencial \(\exists\) que significa “existe”, es decir, pueden tener más elementos que satisfagan la relación. Mira el siguiente ejemplo:

 

• Para escribir simbólicamente la proposición “Existe un número natural \(n\) que es menor que \(3\)”

 

\[\exists n \in \mathbb{N} \mid n<3\]

 

O

\[\exists n \in \mathbb{N} \mid p(n)\]

 

En que \(p(n)=" n<3 "\)

 

Existen casos en que apenas un elemento del dominio de discurso satisface la relación. Observa: 

 

• Para escribir simbólicamente la proposición “Existe un número natural \(n\) que es menor que \(1\)”

 

\[\exists ! n \in \mathbb{N} \mid n<1\]

 

Colocamos un signo de exclamación para indicar que existe el elemento y es único (en este caso, sería \(n=0\))

 

Haciendo un resumen general: la proposición es universal cuando concierne a todos los elementos de un conjunto y es particular cuando no.

 

Ejemplos y contraejemplos 

 

Veamos otra proposición:

 

\[\forall n \in \mathbb{N},(n+1)^{2} \text { es impar}\]

 

Traducido al español:

 

\[\text {Para todo número natural } n, \text{ tenemos que } (n+1)^{2}  \text{ es impar}\]

 

¿Estás de acuerdo en que \(2\) hace que esa afirmación sea verdadera? Pues \((2+1)^{2}=9\). Llamamos a este ejemplo: cada número que hace que la proposición sea verdadera.

 

¿Estás de acuerdo en que \(3\) hace que esa afirmación sea falsa? Pues \((3+1)^{2}=16\). Llamamos a este contraejemplo: todo número que hace que la proposición sea falsa (es decir, todo número que pertenece al dominio, pero no está en el valor de verdad)

 

Y el número \(-1\) no es ejemplo ni contraejemplo, pues pertenece al dominio (dominio de discurso)

 

De forma general, podemos decir que si una proposición universal tiene contraejemplos, es falsa. Piensa: en la proposición universal, estamos hablando de todos los elementos de un conjunto. Si encontramos algo en el conjunto que no respeta la relación, quiere decir que es falsa.

 

Además, si una proposición es particular, solo es verdadera si tiene ejemplos que lo demuestren, no existe problema alguno si tiene contraejemplos.

 

Y, o y no

 

Ya hemos visto varias proposiciones, vamos a aprender a combinarlas. Por ejemplo:

 

\[\text {3 es impar y 5 es par}\]

 

\[\text {2 es primo o 9 es par}\]

 

En la primera fase, tenemos al conectivo (llamado así porque conecta dos proposiciones) \(“y”\) \((\text {representado por } \wedge)\). Matemáticamente escribiendo: 

 

\[p=3 \text{ es impar}\]

 

\[p=5 \text{ es par}\]

 

En ese caso la frase es:

\[p \wedge q\]

 

¡Y esa combinación solo será verdadera si las dos proposiciones son verdaderas! En este caso una de ellas es falsa, entonces la proposición compuesta también lo es. 

 

\[p \text { es verdadera}\]

 

\[q \text { es falsa}\]

 

Por tanto:

\[p \wedge q \text { es falsa}\]

 

La segunda frase tiene el conectivo \(“o”\) \(\text {representado por } \vee\)

  \[p=2 \text { es primo}\]

  \[q=9 \text { es par}\]

Entonces tenemos:

\[p \vee q\]

 

Te adelanto que esa proposición es verdadera

 

“¡Que! ¿Cómo así? \(9\) no es par”

 

Pues sí, aquí está la diferencia de a lo que estamos acostumbrados. En matemática, una proposición compuesta con \(“o”\) es verdadera siempre que una de las proposiciones es verdadera; es decir, la única forma de que esta sea falsa es si una de las dos proposiciones es falsa. Observa la siguiente tabla:

 

 

¡Ahora aprenderemos cómo negar las proposiciones! Es super divertido

 

Cuando negamos una proposición, decimos que esta no es verdadera. Mira:

 

\[\text {La negación de } p \text { es no }(p) \text { o } \neg p\]

 

\[\text {La negación de } p \wedge q \text { es no }(p) \vee \text {no }(q)\]

 

\[\text {La negación de } p \vee q \text { es no }(p) \wedge \text{no } (q)\]

 

\[\text {La negación de no }(p) \text { es } p\]

 

Es decir, cada vez que niegues \(“y”\) o \(“o”\), piensa que uno se convierte en el otro. Primero, colocas no en todo, luego arreglas el símbolo: si era \(“y”\) se convierte en \(“o”\) y si era \(“o”\) se convierte en \(“y”\). Tiene sentido que la negación de la negación sea la propia \(p\).

 

Ejemplo:

 

• La negación de “\(x \text { es divisible por 4 y } x \text { es divisible por } 7\)” es “\(x \text { no es divisible por } 4 \text { o } x \text { no es divisible por } 7\)”

 

Ahora vamos a aprender a negar los cuantificadores \(\forall\) y \(\exists\). ¿Adivina qué? Uno se convierte en el otro también. Ejemplo:

 

• Existe un número entero \(x\) tal que \(x+2=1\)

 

Vamos a negar esa proposición, ¿bien? Escribiendo matemáticamente:

 

\[\exists x \in \mathbb{Z} \mid x+2=1\]

 

O

\[\exists x \in \mathbb{Z} \mid p(x)\]

 

En que \(p(x): " x+2=1 "\)

 

\[\neg(\exists x \in \mathbb{Z} \mid p(x))=\neg(\exists x \in \mathbb{Z}), \neg(p(x))\]

 

Observa que “tal que” se convierte en una coma en la negación. Y si tuvieras una coma se convierte en “tal que” en la negación. Además, hicimos algo parecido a una distributiva, colocando la negación antes de la antigua y después de esta. Continuando: 

 

 \[\neg(\exists x \in \mathbb{Z}), \neg(p(x))=\nexists x \in \mathbb{Z}, x+2 \neq 1\]

 

Se que parece más intuitivo decir que la negación de “existe” es “no existe” (no estás equivocado), concuerdo, sin embargo, lo más acertado es colocar “para todo”:

 

\[\neg(\exists x \in \mathbb{Z} \mid x+2=1)=\forall x \in \mathbb{Z}, x+2 \neq 1\]

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