Producto Notable y Factorización
¡Bienvenidos, espero que estén genial!
En esta ocasión hablaremos sobre el producto notable. ¿Pero, qué es?
Esta es una técnica que cambia una suma o resta de términos por productos. Existen algunos casos que debemos estudiar, los principales. ¡Vamos allá!
Factor común
Observa esa suma
\[2 x+2 y\]
Podemos apreciar que cada término tiene un \(2\), ¿cierto? Por tanto, el \(2\) es su factor común.
Una vez hecho el paso anterior, pondremos al \(2\) en evidencia para dejar esa suma en su forma factorizada
\[2 x+2 y=2(x+y)\]
“Puede que me esté equivocando”
Bien, para estar seguro de lo que estás haciendo, basta con realizar la operación y comprobar si el resultado es el mismo.
\[2(x+y)=2 x+2 y\]
Perfecto, sigamos.
Agrupamiento
Mira esta suma:
\[2 x+2 y+x^{2}+x y\]
Los términos no tienen nada en común, pero si miramos los dos primeros términos, podemos factorizar como en el caso anterior.
\[2 x+2 y=2(x+y)\]
Los otros términos, tienen \(x\) en común, entonces también los podemos factorizar.
\[x^{2}+x y=x(x+y)\]
Reescribiendo la suma
\[2 x+2 y+x^{2}+x y=2(x+y)+x(x+y)\]
Como podemos notar, ahora los dos lados tienen el mismo término entre paréntesis, \(x+y\).
Podemos poner a \(x+y\) en evidencia.
\[2(x+y)+x(x+y)=(x+y)(2+x)\]
Este es el agrupamiento, cuando tenemos sumas con términos en común, y conseguimos poner un término a cada suma en evidencia.
Diferencia de cuadrados
Verás algo así:
\[x^{2}-9\]
Tenemos dos términos al cuadrado y una resta. En este caso:
\[x^{2}-3^{2}\]
Por eso es llamado diferencia de cuadrados.
Y entonces la forma factorizada será:
\[x^{2}-3^{2}=(x-3)(x+3)\]
¿Viste cómo la resta de los dos términos se convirtió en el producto de otros dos? En general, cuando tenemos:
\[x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a)\]
Mira este ejemplo:
\[(-x+2)(x+2)\]
“Oh no, pensé que había entendido, pero veo que no”
Tranquilo, puse este ejemplo porque no quiero que memorices “el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo”. ESO TE PUEDE ENGAÑAR
Aprendetelo así: “el cuadrado de quien conserva el signo menos el cuadrado de quien no lo conserva”
En este caso:
\[(-x+2)(x+2)\]
El número \(2\) conservó el signo, es decir, tiene el signo de \(+\) en los dos términos, mientras que \(x\) no conservó el signo, porque cambio de signo de un término a otro. Entonces:
\[2^{2}-x^{2}\]
\[4-x^{2}\]
Cuadrados perfectos
Tendrás algo así:
\[x^{2}+2 y x+y^{2}\]
Entonces, la forma factorizada será:
\[x^{2}+2 y x+y^{2}=(x+y)(x+y)=(x+y)^{2}\]
Siempre se verá así.
Lo mismo sirve para:
\[x^{2}-2 y x+y^{2}=(x-y)^{2}\]
Cubo perfecto
Tendremos expresiones elevadas al \(3\), pero será super fácil. Sigue el siguiente razonamiento
Cuando tenemos
\[a^{3}+3 a^{2} b+3 b^{2} a+b^{3}\]
Es la misma noción de cuadrado perfecto, solo que ahora es un cubo.
Su forma factorizada será:
\[\boldsymbol{a}^{3}+3 \boldsymbol{a}^{2} \boldsymbol{b}+3 \boldsymbol{a} \boldsymbol{b}^{2}+\boldsymbol{b}^{3}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{3}\]
Lo mismo para restar
\[a^{3}-3 a^{2} b+3 b^{2} a-b^{3}=(a-b)^{3}\]
Suma y Resta de cubos
Tenemos que las siguientes relaciones son verdaderas:
\[\left(a^{3}+b^{3}\right)=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\]
\[\left(a^{3}-b^{3}\right)=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)\]
\[\left(a^{2}+b^{2}\right)=(a+b)^{2}-2 a b\]
\[\left(a^{2}-b^{2}\right)=(a-b)^{2}+2 a b\]
Algunas observaciones
Es importante que no confundas \((a+b)^{2}\) con \(a^{2}+b^{2}\) o \((a-b)^{3}\) con \(a^{3}-b^{3}\). Son dos cosas totalmentes diferentes:
\[(a \pm b)^{n} \neq a^{n} \pm b^{n}\]
Cada vez que te confundes, una abejita muere. ¡Piensa en eso!
También dejaré por aquí algunas relaciones de potenciación y radicación:
\[a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\]
\[\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\]
\[\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\]
\[(a \cdot b)^{m}=a^{m} \cdot b^{m}\]
\[\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\]
\[\sqrt{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}\]
¡Vamos a los ejercicios!
Hay un error?
Ir al Siguiente Capitulo: Raíces
Todos los Resúmenes
