Función Exponencial

Son funciones de forma:

\[f(x)=a^{x}\]

\[a>0\]

Donde \(a\) es un número real positivo llamado base. El argumento \(x\) es llamado exponente. Básicamente la función multiplica la base \(a\) por sí misma \(x\) veces. Por ejemplo:

\[g(x)=3^{x}\]

Si decimos que \(x=2\):

\[g(2)=3^{2}\]

\[g(2)=9\]

La función exponencial también puede ser multiplicada por una constante cualquiera, por ejemplo:

\[f(x)=10 \cdot 7^{x}\]

De ahí, sustituyendo algunos valores tendríamos:

\[f(3)=10 \cdot 7^{3}\]

\[f(3)=10 \cdot 343\]

\[f(3)=3430\]

Y eso es básicamente lo que necesitamos saber sobre una función exponencial. 

Dominio e Imagen 

Como la función tiene forma:

\[f(x)=a^{x}\]

Consideramos un rango de valores para \(x\) y observamos que ocurre en la función:

• \(x>0\) y entero:

En este caso, tenemos un número positivo multiplicado por sí mismo \(x>0\) veces. No habrá indeterminación. 

• \(x>0\) y no entero:

En este caso, podemos tener una raíz, por ejemplo:

\[a^{1 / 2}=\sqrt{a}\]

Sin embargo, como \(a>0\) en la función exponencial, la raíz siempre será positiva.

• \(x<0\):

Como \(x\) es negativa, tendremos lo siguiente:

\[a^{-5}=\frac{1}{a^{5}}\]

Como \(a>0\), el denominador nunca será cero y, por tanto, no habrá indeterminación o singularidad.

Entonces, si \(x\) puede ser cualquier cosa, tenemos que \(x\) pertenece a los reales, es decir, el dominio es:

\[D(f)=\mathbb{R}\]

Imagen

La imagen, como podemos saber por el gráfico, no puede ser cualquier valor. Al principio, puede ser un poco complicado de entender, pero ten en cuenta que:

\[a^{x}=\overbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{x \text { veces }}\]

La función es lo mismo que multiplicar un número positivo \((a>0)\) por sí mismo varias veces. Entonces, nos preguntamos, ¿puede dar un resultado negativo? La respuesta es no. ¿Y cero? ¿Puede dar cero? Como \(a\) no es nulo, no puede. Por tanto:

\[f(x)=a^{x}>0\]

De tal forma, la imagen es cualquier número real positivo. Podemos representar el conjunto de tres maneras:

\[\operatorname{Im}(f)=\{y \in \mathbb{R} \mid y>0\}\]

\[\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}^{+}-\{0\}\]

\[i m(f)=\mathbb{R}_{+}^{*}\]

El signo más encima de \(\mathbb{R}\), indica que son los reales positivos incluyendo el cero. Hacemos la operación de excluir el elemento cero \((-\{0\})\), debido a que este no forma parte de la imagen.

Así mismo, \(*\) indica que son los reales positivos sin incluir el cero. 

Gráfico

El gráfico de la función exponencial depende de su base. En este caso, existen dos posibilidades que vamos a estudiar. La primera, si la base es mayor a \(1\):

\[a>1\]

El otro caso es, si la base está entre cero y uno:

\[1>a>0\]

En el primer caso, el gráfico de la función es una creciente que corta al eje \(y\) en el punto \((0,1),\), o \((0, k)\) en el caso de que la función esté siendo multiplicada por una constante \(“k”\).

En el segundo caso, la función es una decreciente que también corta al eje \(y\) en el mismo punto de antes.

Recuerda que la función, en ambos casos, se aproxima cada vez más a cero, sin llegar a dicho valor. 

Número de Euler

Una función común cuando tratamos con funciones exponenciales, es aquella con base \(e\).

\[f(x)=e^{x}\]

El número \(e\) es un número irracional al igual que \(\pi\). Aproximadamente su valor es:

\[e \approx 2.718\]

Más adelante veremos otras situaciones relacionadas al número \(e\).