Inecuaciones exponenciales y logarítmicas

Inecuaciones exponenciales de igual base

En el tópico funciones exponenciales vimos que estas pueden ser: siempre crecientes o siempre decrecientes.

\[(\text {base})^{x}\]

Si tenemos:

\[0< \text {base} <1\]

La función es decreciente, mientras que:

\[ \text {base}>1\]

Se trata de una función creciente. 

De esta forma, por ejemplo, la inecuación:

\[(0,5)^{x_{1}}>(0,5)^{x_{2}}\]

Solo será verdadera si:

\[x_{1}<x_{2}\]

Con signo contrario en relación a la inecuación correspondiente, pues la base es menor que uno y, por tanto, la función es decreciente. Y:

\[2^{x_{1}}>2^{x_{2}}\]

Solo será verdad si:

\[x_{1}>x_{2}\]

Con signo igual a la inecuación correspondiente, pues la base es mayor que uno y, por tanto, la función es creciente. 

De esa forma, la inecuación:

\[e^{x-1}>e^{2 x-1}\]

Implica en la inecuación:

\[x+1>2 x-1\]

Pues:

\[e>1\]

Y la inecuación:

\[0,1^{5 x} \geq 0,1^{2}\]

Implica en:

\[5 x \leq 2\]

Pues:

\[0,1<1\]

Estas inecuaciones son fáciles de resolver, en caso de que se te dificulten, échale nuevamente un vistazo a las inecuaciones de primer grado. 

Inecuaciones exponenciales de distinta base 

Cuando la base de la inecuación es diferente, por ejemplo:

\[2^{x+1} \leq 4^{x}\]

Debemos intentar igualar las bases. Recuerda que:

\[4=2^{2}\]

Sustituyendo:

\[2^{x+1} \leq\left(2^{2}\right)^{x}=2^{x+1} \leq 2^{2 x}\]

Ahora es más fácil:

\[x+1 \leq 2 x\]

El resultado es:

\[x \geq 1\]

Inecuaciones logarítmicas

Para las inecuaciones logarítmicas, tenemos la misma idea de las exponenciales. Su notación es:

\[\log _{b a s e} a\]

Si:

\[0< \text {base}<1\]

El signo de la desigualdad cambiará, es decir, para:

\[\log _{1 / 2}(x+1)<\log _{1 / 2}(2 x)\]

Tenemos la inecuación correspondiente:

\[x+1>2 x\]

Y para cuando:

\[\text {base} >1\]

El signo de la desigualdad se mantiene:

\[\log (2 x+1)>\log (5) \rightarrow 2 x+1>5\]

Sabiendo que cuando el exponente del logaritmo no se especifica es \(10\).

¡Vamos a los ejercicios!