Operaciones con Conjuntos
¡Bienvenidos! ¡Espero se encuentren fenomenal!
Ya hemos empezado a entender cómo funcionan los conjuntos, el siguiente paso es saber cómo relacionarlos entre sí.
“Espera, ¿a que te refieres?”
No te preocupes, lo veremos en seguida.
Unión, Intersección y Diferencia de Conjuntos
Imagina que queremos crear un conjunto que tenga los números que son múltiplo de \(3\) o múltiplo de \(5\). Esto puede expresarse a través de una UNIÓN entre dos conjuntos: un conjunto de múltiplos de \(3\) y un conjunto de múltiplos de \(5\).
Normalmente en la construcción de un conjunto, cuando hablamos de O, estamos hablando de una unión. La notación es la siguiente:
\[A \cup B\]
En el diagrama de Venn:
La región roja representa la operación \(A \cup B\).
Numéricamente sería así:
\[A=\{1,2,3,4\} \text { y } B=\{4,5,6,7\}\]
El conjunto unión será:
\[A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}\]
No olvides colocar solo una vez cada término, debido a que pueden aparecer muchas veces.
Ahora imagina que queremos un conjunto que tenga los números que son múltiplos de \(3\) y \(5\). En esta ocasión tenemos una INTERSECCIÓN entre dos conjuntos: un conjunto con los múltiplos de \(3\) y otro con los múltiplos de \(5\).
Normalmente en la construcción de un conjunto, cuando hablamos de Y, estamos hablando de una intersección. La notación es la siguiente:
\[A \cap B\]
En el diagrama de Venn:
La región roja representa la operación \(A \cap B\). A groso modo, una intersección es el conjunto de los elementos en común.
Numéricamente sería:
\[A=\{1,2,3,4\}\space \space y \space \space B=\{4,5,6,7\}\]
El conjunto intersección será:
\[A \cap B=\{4\}\]
PERO, puede ocurrir que los conjuntos no tengan términos en común, así es la vida 🤷🏻♂️.
\[A=\{1,2,3\} \text { y } B=\{4,5,6\}\]
En este caso:
\[A \cap B=\emptyset=\{\}\]
Y decimos que los conjuntos \(A\) y \(B\) son disjuntos.
Queremos crear otro conjunto: uno que tenga todos los colores, excepto los que comienzan por la letra “a”.
Esto es llamado diferencia de conjuntos: tomamos un conjunto que tenga todos los colores y restamos con otro que solo tenga los que comienzan con la letra “a”.
Normalmente en la construcción de conjuntos, cuando tenemos RESTRICCIÓN, tenemos una diferencia de conjuntos. La notación es:
\[A-B \space \text { o } \space A \backslash B\]
En el diagrama de Venn:
La región roja representa la operación \(A-B\).
Numéricamente sería:
\[A=\{1,2,3,4\} \space \text { y } \space B=\{4,5,6,7\}\]
El conjunto restricción será:
\[A-B=A \backslash B=\{1,2,3\}\]
Tomamos lo que está en \(A\) y sacamos lo que está en \(B\).
Complemento de un conjunto y número de elementos de un conjunto
Para comenzar, queremos crear un conjunto que tenga todo los números menos los números pares. Podríamos decir que se trata de una diferencia de conjuntos, ¿verdad?
Es correcto, pero también se trata de complementar un conjunto.
“¿Ah? ¿Qué es eso?”
El complemento de un conjunto es todo aquello que NO es el conjunto en sí. En este caso, estaríamos buscando el complemento del conjunto de los números pares.
Cuando hablamos de diferencia de conjuntos, también hablamos de complementar.
La notación es la siguiente:
\[A^{C}=\text {todo aquello que no es } A\]
En el diagrama de Venn
Recordando que esto aplica solo cuando consideramos al conjunto \(A\) y al conjunto universo \(U\).
Pero si solo hablamos de \(A\) y \(B\), tendríamos el siguiente diagrama de Venn:
Y eso en términos de complemento sería:
\[A-B=C_{A}^{B}=B^{C}\]
Se lee como un complemento de \(B\) en relación a \(A\) o solo un complemento de \(B\).
Daremos un salto a la parte en donde explicamos la cardinalidad de un conjunto. También conocida como “número de elementos del conjunto”, es una medida utilizada para cuantificar los elementos que conforman a un conjunto.
\[A=\{1,2,3,4\}\]
\[n(A)=\operatorname{card}(A)=4\]
Como puedes notar, nos encontramos con varias notaciones que a este punto no son bastante familiares.
Presta atención al siguiente truco, te será de mucha utilidad:
\[n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\]
Solo voy a explicar la fórmula, el resto queda de tu parte, ¿okey?
Pensemos: para saber el número de elementos de la unión de dos conjuntos, mirando el diagrama de Venn, tenemos la siguiente situación:
Entonces, sumamos la cantidad de elementos en \(A\) y la cantidad de elementos en \(B\). Pero al contar la parte del medio dos veces, tenemos que restar dicha parte para estar seguros de la cantidad.
Otra fórmula:
\[n(A \cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(A \cap C)-n(B \cap C)+n(A \cap B \cap C)\]
Propiedades de unión e intersección
Dados tres conjuntos, \(A, B\ \text{ y } C\), las siguientes propiedades son válidas:
Propiedad conmutativa:
\[A \cup B=B \cup A\]
\[A \cap B=B \cap A\]
Propiedad asociativa:
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)\]
\[(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)\]
Propiedad distributiva:
\[A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)\]
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\]
Si \(A\) está contenido en \(B(A \subset B)\):
\[A \cup B=B \Leftrightarrow A \cap B=A\]
\[(A \cup C) \subset(B \cup C)\]
\[(A \cap C) \subset(B \cap C)\]
Leyes de De Morgan:
\[(A \cup B)^{C}=A^{C} \cap B^{C}\]
\[(A \cap B)^{C}=A^{C} \cup B^{C}\]
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