Ecuación Polinómica

Introducción

 

Las ecuaciones son una de las partes más fundamentales de la matemática. De forma general, una ecuación polinómica (o algebraica) tiene forma:

 

\[P(x)=0\]

 

Entonces, nos enfocamos en resolver los valores de una variable para que el polinomio sea cero. Este proceso es llamado hallar las raíces del polinomio.

 

Sin embargo, no porque son ecuaciones fundamentales quiere decir que sean fáciles de resolver, todo va a depender del grado de los polinomios involucrados. Por ello, vamos a empezar con uno de los tipos más simples de ecuación: la ecuación de primer grado. 

 

Ecuación de primer grado

 

Las ecuaciones de primer grado están en todas partes. Pero, son más comunes en la tienda de Joaquín, quien siempre olvida el precio de los productos…

 

Un día, Joaquín olvidó el precio del refresco. Lo único que sabía era el precio de la sal \(\$ 4,00\), y la sal más el refresco costaba \(\$ 7,00\).

 

Bien, no todo es malo para Joaquín. La sal cuesta \(\$ 4,00\) y, con el refresco \(\$ 7,00\). Si decimos que el precio del refresco es \(r\), entonces:

 

\[4+r=7\]

 

Restando \(7\) de los dos lados:

 

\[4+r-7=7-7\]

 

\[r-3=0\]

 

Como puedes ver, tenemos un polinomio igualado a cero, como hace un rato. Entonces:

 

\[r=3\]

 

Eso quiere decir que el precio del refresco es \(\$ 3,00\) 

 

Lo que acabamos de resolver es una ecuación de primer grado. Esta posee tres valores clave: los valores conocidos, los valores dados por el problema; el valor desconocido que queremos hallar, llamado incógnita, y el signo igual \((=)\).

 

El signo igual es extremadamente importante, porque este relaciona los valores conocidos con la incógnita. Esto ocurre porque todo lo que está a la izquierda del signo debe ser igual a lo que está a la derecha del mismo. 

 

El valor de \(r\) debe ser necesariamente \(3\), pues satisface a la condición de igualdad, es decir, si sustituimos \(r\) por \(3\) en la ecuación:

 

\[4+r=7 \Rightarrow 4+3=7\]

 

\[7=7\]

 

Encontramos el mismo valor a la izquierda que a la derecha del signo igual. Todos los valores para una incógnita que satisface la igualdad hacen parte del conjunto solución de la ecuación.

 

Como en el problema \(r=3\) satisface la igualdad, decimos que le conjunto solución \(S\) es:

 

\[S=\{3\}\]

 

 

Esto es lo que harás cuando te encuentres una situación del tipo:

 

\[a x+b=0\]

 

Donde \(a\) y \(b\) son números. Reste \(b\) de ambos lados:

 

\[a x+b-b=-b\]

 

\[a x=-b\]

 

Y divida por \(a\) en ambos lados:

 

\[\frac{1}{a} a x=\frac{1}{a}(-b)\]

 

\[x=-\frac{b}{a}\]

 

Esa siempre será la solución para una ecuación de primer grado. 

 

Sistemas de ecuaciones de primer grado

 

Bien, acabamos de ver el caso de una ecuación de primer grado que involucra una variable. El asunto es que ahora tenemos que descubrir más de una variable, por tanto, necesitamos más de una ecuación. 

 

Para entender sistemas, es necesario volver al ejemplo de Joaquín, quien también olvidó tanto el precio del jugo como el de las galletas. 

 

Joaquín sabe que las galletas más el jugo cuestan juntos \($ 5,00\). Llamando al precio de las galletas \(b\) y al del jugo \(s\), tenemos:

 

\[b+s=5\]

 

No podemos resolver nada con esa información, pues tenemos dos incógnitas pero solamente contamos con una ecuación. Como puedes notar, todavía estamos en ecuaciones de primer grado, porque cada una de las variables tiene exponente \(1\). Podríamos tener, por ejemplo:

 

\[b=1, s=4 \quad b=2, s=3 \quad b=3, s=2\]

 

Todos los valores satisfacen la igualdad. Para resolver eso necesitamos una ecuación más, volvamos con Joaquín.

 

…

 

¡Recordó! Las galletas con refresco cuesta \($ 7,00\). Como sabemos que el refresco cuesta \($ 3,00\), tenemos:

 

\[b+3=7\]

 

¡Genial! Ahora tenemos dos incógnitas, más dos ecuaciones.

 

\[\left\{\begin{array}{l}b+s=5 \\ b+3=7\end{array}\right.\]

 

Ese conjunto lleva por nombre sistema de ecuaciones de primer grado. Resolvamoslo. Restando \(3\) por ambos lados:

 

\[b+3-3=7-3 \Longrightarrow b=4\]

 

Las galletas cuestan \($ 4,00\). Podemos sustituir su valor en la primer ecuación:

 

\[b+s=5 \Rightarrow 4+s=5 \Longrightarrow s=1\]

 

Listo, sabemos que el jugo cuesta \($ 1,00\). El conjunto solución será:

 

\[S=\{b, s\}=\{4,1\}\]

 

En resúmen, los sistemas de ecuaciones de primer grado son conjuntos de ecuaciones que se relacionan entre sí. 

 

Podemos tener más de una incógnita. El número de incógnitas debe ser igual o menor que el número de ecuaciones independientes para que pueda haber una solución. No te preocupes por la palabra “independiente”, más adelante veremos de que se trata. 

 

Ecuación de segundo grado

 

Las ecuaciones de segundo grado son ecuaciones en donde una de las incógnitas está al cuadrado; este será el mayor grado de la ecuación. 

 

Un ejemplo de ellas es Cleiton, quién lanzó su pelota de tenis hacia arriba sin razón aparente. 

 

La pelota de tenis salió con una velocidad inicial de \(15 m / s\) y es traída de vuelta por la gravedad. Considerando \(g=10 m / s^{2}\), la pelota a \(10 m\) de altura es descrita por:

 

\[V_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2}=S \Longrightarrow 15 t-5 t^{2}=10\]

 

Reordenando los términos y dividiendo todo por \(5\):

\[-t^{2}+3 t-2=0\]

 

Para hallar el tiempo asociado a dicha altura, tenemos que encontrar \(t\) resolviendo la ecuación, pero…, ¿cómo hacemos eso?

 

Resolviendo una ecuación de segundo grado

 

Las ecuaciones de segundo grado no son difíciles de resolver, veamos cómo se hace. 

 

La forma general de una ecuación de segundo grado es:

 

\[a x^{2}+b x+c=0\]

 

Con \(a \neq 0\) y \(0\) en el lado derecho. Si aparece una ecuación de segundo grado con esta forma, pero con los términos desordenados tanto a la izquierda como a la derecha de la igualdad, tenemos que despejar todo al lado izquierdo para llegar a esa forma.

 

Es importante escribir todo de esa forma para poder aplicar la solución de las ecuaciones de segundo grado: la fórmula de Bhaskara. Esta dice que las dos raíces de dicha ecuación son:

 

\[x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\]

 

\[x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\]

 

Aprecie que sólo cambia de signo antes de la raíz cuadrada. Llamamos \(x_{1}\) y \(x_{2}\) a las raíces de la ecuación de segundo grado, por otra parte los subíndices \(1\) y \(2\) en las \(x\) indican un posible valor de la incógnita que satisface la igualdad de la ecuación. Como podemos tener valores para la incógnita, el conjunto solución podrá tener dos valores distintos.

 

Normalmente, escribimos la fórmula de Bhaskara de esta manera:

 

\[x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\]

 

También podemos escribirla de manera resumida:

 

\[\Delta=b^{2}-4 a c\]

 

Escribimos la solución así:

\[x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}\]

 

Sin embargo, \(\Delta\) no está ahí solo para acortar la fórmula, sino que tiene un papel importante en la solución. 

 

Las raíces pueden clasificarse según sus tipos. No se si notaste que la única diferencia entre las dos raíces \(\left(x_{1} \text { y } x_{2}\right)\) es el signo de la raíz cuadrada de delta, entonces sí delta fuera cero:

 

\[\Delta=0\]

 

\[x_{1}=-\frac{b}{2 a}\]

 

\[x_{2}=-\frac{b}{2 a}\]

 

Las raíces serán dos números reales e iguales. 

 

Si delta fuera negativo:

 

\[\Delta<0\]

 

Tomaremos la raíz cuadrada de un número para la fórmula. No existe la raíz de un número negativo en el conjunto de los número reales, en consecuencia, las raíces serán complejas y normalmente no servirán como respuesta para el ejercicio, pues se acostumbra a trabajar con el conjunto de los número reales.

 

Si, por otro lado, delta fuera positivo, la única cosa que tendremos es que las raíces serán distintas y reales. Por tanto:

 

• Si \(\Delta=0\), tenemos raíces reales iguales.

 

• Si \(\Delta<0\), tenemos raíces complejas distintas.

 

• Si \(\Delta>0\), tenemos raíces reales distintas.

 

Sabiendo todo eso, podemos volver al problema inicial. La pelota de Cleiton a \(10 m\) de altura es descrita por la ecuación:

 

\[-t^{2}+3 t-2=0\]

 

Comparando con la fórmula general de la ecuación de segundo grado, vemos que:

 

\[a=-1 \quad b=3 \quad c=-2\]

 

Así, usando la fórmula de Bhaskara:

 

\[t_{1,2}=\frac{-3 \pm \sqrt{3^{2}-4 \cdot(-1)(-2)}}{2(-1)}=\frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{-2}=\frac{-3 \pm 1}{-2}\]

 

Siendo así, tenemos:

\[t_{1}=\frac{-3+1}{-2}=1 s\]

 

\[t_{2}=\frac{-3-1}{-2}=2 s\]

 

La pelota de Cleiton pasa por esa altura cuando está subiendo en \(t=1 s\) y cuando está descendiendo en \(t=2 s\). Entonces, la solución será:

\[S=\{1,2\}\]

 

Ecuación de grados superiores

 

Las ecuaciones de grados superiores son difíciles de resolver, por tanto, lo que hacemos es factorizar el polinomio para que tengamos un grado menor y así poder resolver. Tipo:

 

\[x^{3}-6 x^{2}+11 x-6=0\]

 

Supongamos que te encuentras con esto. Actualmente, tenemos una fórmula para resolver eso, pero es bastante complicada. Entonces lo que hacemos es factorizar, intentar escribir eso como el producto de polinomios.

 

Por inspección, tenemos que \(x=1\) es la raíz del polinomio de arriba, entonces puede ser escrito como:

 

\[(x-1) \cdot(\text {algún otro polinomio})=0\]

 

Por regla de Ruffini, descubrimos que:

 

\[\text {algún otro polinomio}=x^{2}-5 x+6\]

 

Entonces:

\[(x-1)\left(x^{2}-5 x+6\right)=0\]

 

Por tanto:

\[x-1=0\] o \[x^{2}-5 x+6=0\]

 

\[x=1\]

 

O:

\[x^{2}-5 x+6=0\]

 

Haciendo Bhaskara:

\[x_{1}=2\] y \[x_{2}=3\]

 

Entonces, la solución es \(x=1\) o \(x=2\) o \(x=3\).

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