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Introducción a los Polinomios

¡Bienvenidos, espero que esten genial!

 

Como sabrás por el título, esta vez hablaremos sobre: los polinomios.

 

Los polinomios están en todas partes, tienen miles de usos, por lo que seguramente los utilizarás bastante. Así que presta mucha atención. 

 

Vamos allá:

 

 

Los polinomios son expresiones del tipo:

 

\[x^{5}+2 x-1\]

 

\[x^{2}-2 x\]

 

\[x-1\]

 

¿Sabes qué tienen en común esos términos? Múltiples \(x\) elevadas a un número siendo sumadas. 

 

Es decir, un polinomio es cualquier expresión que tenga forma:

 

\[a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\]

 

Donde las \(a^{\prime}s\) son constantes reales, que pueden valer cero. Algo así \(a_{1}=1, a_{2}=0\) y \(a_{3}=4 \ldots\)

 

Las potencias de \(x\) siempre son números naturales

 

O sea, no son polinomios:

 

\[\sqrt{x^{3}}+2 x\]

 

\[x^{5 / 2}+1\]

 

Porque tienen exponentes no naturales.

 

Orden de un polinomio

 

¿Hasta aquí todo bien, verdad? Entonces, continuemos. El orden de un polinomio es igual al exponente de la potencia más alta con coeficiente no nulo del polinomio, es decir: 

 

\[x^{2}+2 x+1\]

 

Es un polinomio de grado u orden 2 (o de segundo grado), mientras que:

 

\[0 \cdot x^{4}+2 x^{3}+1\]

 

Es un polinomio de grado 3, porque un cero está multiplicando a \(x^{4}\).

 

Nomenclatura

 

El término “poli” de polinomio indica varias. ¿Varias que? Varias potencias de base \(x\).

 

Entonces, cuando solo tenemos una potencia, podemos decir que el polinomio es un monomio, como “mono” de único, como en:

 

\[x^{2}\]

 

También existen los binomios, con dos:

 

\[x^{3}+1\]

 

Y así sucesivamente hasta que nos cansemos de contar.

 

Valor Numérico 

 

Este tema es bastante sencillo, así que no te preocupes. Imagina que tenemos el siguiente polinomio:

 

\[x^{3}+2 x^{2}-1\]

 

Muchas veces, será representado con \(P(x)\), o sea:

 

\[P(x)=x^{3}+2 x^{2}-1\]

 

Entonces te pregunto, ¿cuál es el valor del polinomio cuando \(x=1\)?

 

¿Cómo lo puedes averiguar? Simple, ponemos un 1 en donde estaba la \(x\) y calculamos.

 

\[1^{3}+2.1^{2}-1=2\]

 

Lo representamos así

 

\[P(1)=2\]

 

Igualdad de Polinomios 

 

Esta parte será de mucha utilidad para que no sigas siempre engañado con trampas. Presta atención:

 

\[x^{2}+2 x+1\]

 

\[x^{2}+3 x+1\]

 

Si te digo que estos dos polinomios son iguales, ¿me crees? ¡NO ME CREAS, ES MENTIRA!

 

Dos polinomios son iguales cuando TODOS sus coeficientes son iguales. Entonces: 

 

\[x^{2}+2 x+1\]

 

\[x^{2}+2 x\]

 

NO SON IGUALES, porque el término independiente es diferente. ¡Fijate en los detalles!

 

Aplicaciones 

 

Debes estar pensado “¿Por qué siempre aparecen los polinomios? ¿Por qué estudiamos esto desde que somos niños?”

 

La respuesta es: ¡PORQUE LOS POLINOMIOS ESTÁN EN TODAS PARTES!

 

 

Mira, si te digo que tengo un cuadrado de lado \(L\) y te pregunto su área, ¿qué me responderías?

 

\[L^{2}\]

 

¡Eso es un polinomio! ¿Y si te pregunto su perímetro?

 

\[4 L\]

 

También es un polinomio, entonces no los menosprecies. Son de suma importancia y probablemente son la cosa que más utilizarás en toda tu vida. 

 

¡Vamos a los ejercicios!

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