Seno, Coseno y Tangente de la Suma - Resta de Arcos

¡Bienvenidos, espero estén genial!

Lo sé, el nombre puede sonar atemorizante pero en realidad, el contenido es bastante sencillo.

En esta ocasión aprenderemos a resolver tanto sumas como restas dentro del seno, coseno y tangente para calcular valores como:

\[\operatorname{sen}\left(75^{\circ}\right)\]

Que no es más que:

\[\operatorname{sen}\left(30^{\circ}+45^{\circ}\right)\]

¿De qué sirve escribir \(75^{\circ}\) como \(45^{\circ}+30^{\circ}\)? Sirve para escribir la suma o resta del seno a través del seno sus términos. 

Suma y resta del seno

Por ejemplo, podemos escribir:

\[\operatorname{sen}\left(75^{\circ}\right)=\operatorname{sen}\left(30^{\circ}+45^{\circ}\right)=\operatorname{sen}\left(30^{\circ}\right) \cdot \cos \left(45^{\circ}\right)+\operatorname{sen}\left(45^{\circ}\right) \cdot \cos \left(30^{\circ}\right)=\]

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\]

Como puedes ver, conseguimos transformar un seno de un ángulo no tabulado en un conjunto de senos y cosenos tabulados.

De manera general, tendremos que:

\[\operatorname{sen}(a \pm b)=\operatorname{sen}(a) \cdot \cos (b) \pm \operatorname{sen}(b) \cdot \cos (a)\]

Para la suma de \(\boldsymbol{a}\) y \(\boldsymbol{b}\), tenemos la suma del producto del seno y coseno alternando \(\boldsymbol{a}\) y \(\boldsymbol{b}\).

Para la resta de \(\boldsymbol{a}\) y \(\boldsymbol{b}\), tenemos la resta del producto del seno y coseno alternando \(\boldsymbol{a}\) y \(\boldsymbol{b}\).

Para el caso en que \(a=b\), tenemos un arco doble:

\[\operatorname{sen}(2 a)=\operatorname{sen}(a+a)=\operatorname{sen}(a) \cdot \cos (a)+\operatorname{sen}(a) \cdot \cos (a)\]

\[\operatorname{sen}(2 a)=2 \operatorname{sen}(a) \cdot \cos (a)\]

Suma y resta del coseno

El coseno sigue el mismo razonamiento del seno, solo que la fórmula cambia:

\[\cos (a \pm b)=\cos (a) \cdot \cos (b) \mp \operatorname{sen}(a) \cdot \operatorname{sen}(b)\]

Observe, que para la suma de \(a\) y \(b\), tenemos la resta del producto de los cosenos y senos de \(a\) y \(b\).

Y para la resta, tenemos la suma del producto de los cosenos y senos de \(a\) y \(b\). Presta atención a ese cambio de signos. 

Nuevamente, para el arco doble, tenemos que:

\[\cos (2 a)=\cos (a) \cdot \cos (a)-\operatorname{sen}(a) \cdot \operatorname{sen}(a)\]

\[\cos (2 a)=\cos ^{2}(a)-\operatorname{sen}^{2}(a)\]

Suma y resta de la tangente

La tangente tiene una fórmula un poco más complicada de aprender que la seno o coseno:

\[\operatorname{tg}(a \pm b)=\frac{\operatorname{tg}(a) \pm \operatorname{tg}(b)}{1 \mp \operatorname{tg}(a) \operatorname{tg}(b)}\]

Puedes aprenderla de esta manera:

\[\operatorname{tg}(a \pm b)=\frac{\operatorname{sen}(a \pm b)}{\cos (a \pm b)}\]

Utilizando cualquiera de las fórmulas anteriores, llegamos que para el arco doble:

\[\operatorname{tg}(2 a)=\frac{2 \operatorname{tg}(a)}{1-\operatorname{tg}^{2}(a)}\]