Funciones Trigonométricas - Parte 1
¿Recuerdas las relaciones trigonométricas? Entre las principales tenemos:
\[sen\theta \quad \cos\theta \quad tg\theta\]
¿Qué ocurriría si transformamos cada una de las relaciones mencionadas en funciones?
Es decir, ¿qué sucede a medida que variamos el valor de \(x\), para las siguientes funciones?
\[f(x)=\operatorname{sen}(x) g(x)=\cos (x) h(x)=\tan (x)\]
Necesitamos entender cómo se comporta cada una de esas funciones, así mismo, debemos entender la: periodicidad.
Periodicidad de las funciones trigonométricas
Primero que nada: ¿que es una función periódica?
Es una función que se repite dentro de un intervalo en el eje \(x\).
¿Sigues sin entender? Mira el siguiente gráfico:
De acuerdo con el gráfico, podemos observar que para \(x=2\), tenemos \(y=3\), cuando \(x=10\), también tenemos \(y=3\). ¿Podrías decir cuál es el siguiente valor de \(x\) para \(y=3\)?
Si respondiste \(x=18\), ¡felicitaciones! 🎉
Si no respondiste correctamente, no te preocupes. A continuación, entenderemos cómo funciona…
En realidad, podemos predecir el resultado, pues para determinados valores de \(x\) encontramos un mismo valor de \(y\), repetido de \(8\) en \(8\) unidades de \(x\).
Entonces, decimos que
\[f(2)=3\]
Y que
\[f(2+8)=3 \rightarrow f(10)=3\]
¿Entendido?
Podemos decir que
\[f(2)=f(2+8)=3\]
Ese \(8\) es llamado PERÍODO.
Incluso lo vemos en el gráfico, la misma forma se irá repitiendo de \(8\) en \(8\) unidades de \(x\), es decir, para construir el gráfico de una función periódica basta con construir el gráfico para un período de la función, pues el resto del gráfico será la repetición de esa parte.
Una función es llamada periódica cuando:
\[f(x+T)=f(x)\]
Para toda \(x\).
Y el menor valor de \(T\) que satisface la condición anterior es llamado período de la función \(f\).
Hemos visto que las relaciones trigonométricas se exploran en un círculo, que llamamos circunferencia goniométrica. Este explica porqué las funciones son periódicas… Ya que a medida que vamos dando vueltas en el círculo, encontramos los mismos valores para \(y\).
Función Seno
La función seno viene dada por
\[f(x)=\operatorname{sen}(x)\]
Como dijimos anteriormente, los valores posibles para \(x\) estarán dentro de la circunferencia goniométrica. Observa que los valores extremos que aparecerán serán \(-1\) y \(1\).
Podemos ver que el eje \(y\) es el eje de los senos y el eje \(x\) es el eje de los cosenos. Eso quiere decir que el seno tendrá valores extremos tanto en \(\frac{\pi}{2}\) como en \(\frac{3 \pi}{2}\). Pues \(\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\) y \(\operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-1\).
La función oscila entre estos valores, no existe indeterminación en el intervalo y se repite indefinidamente.
Por tanto, podemos afirmar que el dominio de la función seno (valores posibles para \(x\)) es el conjunto de los números reales, o:
\[D(f)=\mathbb{R}\]
Por otro lado, para la imagen (valores aceptados en \(y\)) sabemos que la función estará entre \(-1\) y \(1\). Eso significa que
\[\operatorname{Im}(f)=[-1,1]=\{y \in \mathbb{R} \mid-1 \leq y \leq 1\}\]
Recordando que tendremos eso cuando \(f(x)=\operatorname{sen}(x)\).
Pero si tuviéramos
\[f(x)=2 \cdot \operatorname{sen}(x)\]
Como puedes observar, en ese caso, todos los valores de \(y\) que teníamos anteriormente son multiplicados por \(2\), eso significa que la función tendrá valores máximos y mínimos en \(2\) y \(-2\), respectivamente.
De forma general, podemos decir que todas las veces que un número multiplica la función, tendremos:
\[f(x)=a \cdot \operatorname{sen}(x)\]
\[\operatorname{Im}(f)=\{y \in \mathbb{R} \mid-a \leq y \leq a\}\]
Para \(a \neq 0\).
Ah, ¿pero por qué tiene que ser distinto a cero?
Simplemente por el hecho de que cero multiplicado por cualquier valor será igual a cero. Eso significa que la función pasará a ser constante, para cualquier valor de \(x\), tendremos \(y=0\).
Para realizar el gráfico de la función seno, usaremos los valores que encontramos en la circunferencia goniométrica. A medida que sabemos los valores de seno, en relación a la tabla con los valores conocidos, solo necesitamos marcar los puntos en el gráfico.
Esta es la tabla con algunos de los valores conocidos.
Marcando los puntos en el gráfico y trazando la línea, tendremos:
Y, de hecho, esta curva se sigue repitiendo indefinidamente a medida que aumentamos o disminuimos los valores de \(x\).
Obs: La \(x\) de cualquier función trigonométrica SIEMPRE será dada en radianes. ¡No lo olvides!
Observa que el gráfico se repite de \(2 \pi\) en \(2 \pi\), ¿que significa eso?
EL PERÍODO DE LA FUNCIÓN SENO ES \(2 \pi\)
Pero…,¿Cuál será el período de una función como esta?
\[f(x)=\operatorname{sen}(2 x)\]
Para hallar el período de la función, tomamos el argumento, que es el número que acompaña a \(x\) dentro del seno e igualamos a \(2\pi\), que es el período de la función \(\operatorname{sen}(x)\) de forma que, por ejemplo:
\[2 \pi=2 T \therefore T=\pi\]
Comparemos los gráficos:
Si tuviéramos
\[f(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{x}{3}\right)\]
Tendríamos
\[\frac{T}{3}=2 \pi \rightarrow T=6 \pi\]
Cuando tenemos un número sumando dentro del seno, podemos ignorar ese valor; igualamos a \(2 \pi\) solo la parte multiplica \(x\). Entonces
\[\operatorname{sen}(2 x+\pi) \Longrightarrow 2 T=2 \pi \therefore T=\pi\]
El término que suma sólo desplazará la función un poco hacia el lado, pero el período será el mismo. Echemos un vistazo al gráfico
Además, podemos notar que el gráfico de la función seno también es simétrico en relación al orígen. Eso significa que es una función impar. Eso quiere decir que, por ejemplo
\[\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 ; \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-1\]
Es decir
\[\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1\]
Generalizando, para cualquier \(x\), tenemos que siempre valdrá
\[\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}(x)\]
Función Coseno
La función coseno viene dada por:
\[f(x)=\cos (x)\]
Así como en el seno, el dominio será el conjunto de los números reales:
\[D(f)=\mathbb{R}\]
Y, como también oscila entre \([-1,1]\), tendrá como imagen
\[\operatorname{Im}(f)=\{y \in \mathbb{R} \mid-1 \leq y \leq 1\}\]
O, para un coeficiente multiplicando la función:
\[f(x)=a \cdot \cos (x)\]
\[\operatorname{Im}(f)=\{y \in \mathbb{R} \mid-a \leq y \leq a\}\]
Calcularemos el período de la misma forma que lo hacíamos en el seno, una vez que el período también es de \(2 \pi\).
El gráfico será igual al del seno, pero desplazado y teniendo valor \(y=1\) en \(x=0\).
Lo hacemos de la misma manera que con el seno, pero usando los datos para coseno, observa que es un poco diferente
Marcando los puntos, tendremos
Y si expandimos la construcción de ese gráfico tanto para la izquierda como para la derecha, tendremos
Si el argumento de la función coseno varía, podemos calcularlo de la misma manera que para el seno.
Eso nos muestra que la función es simétrica en relación al eje \(y\), lo que implica que la función es par. Es decir, si hacemos
\[\cos (\pi)=-1\]
Así como
\[\cos (-\pi)=\cos (\pi)=-1\]
Generalizando, siempre podemos escribir que
\[\cos (x)=\cos (-x)\]
¡Vamos a los ejercicios!
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