Circunferencia Goniométrica
Cuando hablamos de trigonometría, lo primero que pensamos es en: senos y cosenos.
Tiene sentido, pero en esta ocasión vamos a entender cómo funcionan las relaciones trigonométricas para CUALQUIER ángulo. Cabe recordar que una circunferencia tiene \(360^{\circ}\).
Vamos a imaginar que tenemos una circunferencia goniométrica de radio \(1\). Una circunferencia centrada en \((0,0)\) y de radio \(1\) tiene la siguiente forma:
Dentro de la circunferencia, consideramos el ángulo de análisis partiendo de la parte positiva del eje \(x\) y creciendo en sentido antihorario. De la siguiente forma:
Es decir, cuando estamos en sentido antihorario, tenemos los ángulos POSITIVOS, en sentido horario, ángulos NEGATIVOS. ¿Entendido?
Además, el sentido de crecimiento de los cuadrantes también será antihorario.
Observe la siguiente circunferencia.
Echémosle un vistazo al triángulo rectángulo ABC…
Vamos a calcular tanto el seno como el coseno del ángulo \(\alpha\), mira:
\[\operatorname{sen} \alpha=\frac{\text {cat. opuesto}}{\text {hipotenusa}}=\frac{y}{1}=y \quad \quad \cos \alpha=\frac{\text {cat. adyacente}}{\text {hipotenusa}}=\frac{x}{1}=x\]
Por eso, decimos que “y” es el eje del seno y “x” el eje del coseno.
\[\text {Coseno} \rightarrow \text {CON SUEÑO } \quad \text{ Seno} \rightarrow \text {SIN SUEÑO}\]
Eso nos dará una importante interpretación tanto para seno como para coseno. Por ejemplo, para un ángulo de \(30^{\circ}\), tendremos
\[\operatorname{sen} 30^{\circ}=\frac{1}{2}\quad \quad \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
Las coordenadas del punto B, serán
\[B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\]
Grados y radianes
Como la circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio \(1\), podemos representar un ángulo por la longitud de su circunferencia; la longitud \(c\) de una circunferencia completa es:
\[c=2 \pi r\]
Como \(r=1\), tendremos
\[c=2 \pi \space r a d\]
Por esta razón, podemos decir que
\[360^{\circ} \text {corresponden a } 2 \pi \space rad\]
Una circunferencia completa tiene un ángulo asociado de \(360^{\circ}\), de esta manera, por una regla de tres, podemos hacer la conversión de cualquier ángulo de grados a radianes y viceversa. Por ejemplo…
\[120^{\circ} \text { en rad?}\]
\[360^{\circ} \rightarrow 2 \pi\]
\[120^{\circ} \rightarrow \varphi_{\text {rad}}\]
Llegamos a:
\[\varphi_{r a d}=\frac{2 \pi}{360} \cdot 120^{\circ}\]
Simplificando por \(120^{\circ}\), tendremos:
\[\varphi_{r a d}=\frac{2 \pi}{3} r a d\]
Para convertir de radianes a grados es aún más simple.
Recordemos que
\[360^{\circ} \rightarrow 2 \pi \space r a d\]
Entonces
\[180^{\circ} \rightarrow \pi \space r a d\]
Eso significa que si tenemos un ángulo así,
\[\frac{3 \pi}{4}\]
Si queremos convertirlo, basta con hacer lo siguiente:
\[\frac{3 \cdot 180^{\circ}}{4}=\frac{540^{\circ}}{4}=135^{\circ}\]
Ángulos en otros cuadrantes
Hasta ahora solo hemos visto casos en donde los valores de seno, coseno y tangente están en el primer cuadrante, pero y si:
\[\operatorname{sen}\left(120^{\circ}\right)=? ? \quad \cos \left(270^{\circ}\right)=? ? \quad \operatorname{tg}\left(135^{\circ}\right)=? ?\]
Hallar esos valores no es complicado. Solo debemos observar la simetría de la circunferencia. Resolvamos el ángulo de \(\operatorname{sen}\left(120^{\circ}\right)\).
Como puedes notar para que el ángulo de \(120^{\circ}\), llegue a \(180^{\circ}\), faltan \(60^{\circ}\)
Como ese \(60^{\circ}\) está en el segundo cuadrante, note que el seno dado en el eje \(y\) siempre es positivo.
\[\operatorname{sen} 120^{\circ}=\operatorname{sen} 60^{\circ}=\]
\[\frac{\sqrt{3}}{2}\]
Por otra parte, el coseno representado en el eje \(x\) para ángulos como este, en el lado izquierdo del plano siempre es negativo…
\[\cos 120^{\circ}=-\cos 60^{\circ}=\]
\[-\frac{1}{2}\]
Tanto \(120^{\circ}\) como \(60^{\circ}\) tiene en módulo los mismo valores para seno y coseno, entonces son considerados simétricos.
La tangente también es bastante simple de calcular:
\[\operatorname{tg}\left(120^{\circ}\right)=\frac{\operatorname{sen}\left(120^{\circ}\right)}{\cos \left(120^{\circ}\right)}=-\sqrt{3}\]
Podemos calcular senos, cosenos y tangentes simplemente fijándonos en la posición del lado del eje \(x\) más cercano, como hicimos hace unos instantes atrás, ¿entendido?
Recordando que cada cuadrante tendrá los siguientes signos para cada identidad trigonométrica…
Recordando que el seno crece en la vertical, por lo que el 1° y 2° cuadrante son positivos y el 3° y 4° son negativos. Consideramos como referencia sólo el eje de la vertical. La misma lógica vale para el coseno, sólo que en la horizontal.
Para la tangente, recordemos que
\[\operatorname{tg} x=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\]
Es decir, con respecto a los signos de los cuadrantes, recordaremos la regla de los signos…
\[\text {Signos iguales} \rightarrow POSITIVO \quad \quad \text {Signos diferentes} \rightarrow NEGATIVOS\]
Ángulos notables
Los ángulos de \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) y \(60^{\circ}\) son llamados “ángulos notables”, por ser aquellos de uso común en la vida cotidiana. Por tanto, es importante estudiarlos completamente, incluso saber su valor en radianes, por ejemplo, \(30^{\circ}\):
\[\varphi_{r a d}=\frac{2 \pi}{360} \cdot \varphi_{g r a do s} \quad \rightarrow \quad \varphi_{r a d}=\frac{2 \pi}{360} \cdot 30^{\circ}=\frac{\pi}{6}\]
Transformando los otros ángulos…
En la circunferencia goniométrica luce así…
Como puedes notar los otros ángulos simétricos a los notables también están determinados en el círculo goniométrico, por ejemplo, el ángulo de
\[\frac{\pi}{3} r a d=60^{\circ} \text { es simétrico a } \frac{2 \pi}{3} r a d=120^{\circ}\]
Un truco para determinar los ángulos simétricos en radianes en los otros cuadrantes es cantar: “Resta uno, suma uno, el doble... vuelves a restar”. Veamos los simétricos de \(\pi / 6\):
Para \(\frac{\pi}{6}\), tendremos
En el segundo cuadrante, “resta 1”:
\[\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6} r a d\]
En el tercer cuadrante, “suma 1”:
\[\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7 \pi}{6} r a d\]
En el cuarto cuadrante, “el doble… volver a restar”:
\[2 \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11 \pi}{6} r a d\]
¡Listo!
Arcos Congruentes
Para cerrar, tenemos un último tema…
A partir de la circunferencia goniométrica, vemos que cada \(360^{\circ}\) o \(2 \pi \mathrm{rad}\) damos una vuelta entera, por tanto los valores de seno y coseno se repiten. Los ángulos con relaciones trigonométricas comunes son llamados ángulos congruentes.
Por ejemplo, \(\pi\) es congruente de \(3\pi\), pues:
\[\pi+2 \pi=3 \pi\]
Y:
\[\operatorname{sen}(\pi)=\operatorname{sen}(3 \pi)=0\]
\[\cos (\pi)=\cos (3 \pi)=-1\]
De forma general:
\[\operatorname{sen}(\varphi+2 \pi k)=\operatorname{sen} \varphi \quad \cos (\varphi+2 \pi k)=\cos \varphi\]
Como \(k \in \mathbb{Z}\)
\(k\) debe ser un número entero, pues solamente dando una vuelta entera volvemos al mismo lugar.
¡A los ejercicios!
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