Función Modular

Introducción

La función modular es una función que transforma a todo número dentro del módulo en un número positivo. Se representa de la siguiente manera:

\[f(x)=|x|\]

Donde \(|x|\) es el módulo de \(x\). El módulo es la distancia de un número al cero, como sabemos, siempre es positivo porque no existen distancia negativas. Su objetivo es convertir a un número en positivo. Antes de continuar, veamos algunos ejemplos:

Comencemos hallando \(|2|\); este es el módulo de \(2\), por tanto, cómo es positivo, su módulo es el mismo:  

\[|2|=2\]

La distancia del \(0\) al \(2\) es \(2\).

En el caso de \(\mid-3\mid\), como el número en el módulo es negativo, tenemos que cambiar su signo para que sea positivo, y de esta forma su módulo sea \(3\):

\[|-3|=-(-3)=3\]

La distancia del \(-3\) al \(0\) es \(3\).

El signo menos delante del número hace que su signo cambie a positivo.

¿Entiendes cómo funciona? Siempre que el número sea positivo, su módulo será sí mismo, por otro lado, siempre que un número sea negativo, hacemos su simetría. De manera sencilla, tenemos que:

\[f(x)=|x|=\left\{\begin{array}{ccc}x & \text { si } & x \geq 0 \\ -x & \text { si } & x<0\end{array}\right.\]

Así es como funciona la función modular.

Funciones dentro del módulo

Otra forma de utilizar las funciones modulares es cuando tenemos una función dentro de la otra, por ejemplo

\[f(x)=\left|x^{2}+7 x+12\right|\]

¿Cuál será la solución de esa función? La definición del módulo es:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^{2}+7 x+12 & \text { si } & x^{2}+7 x+12 \geq 0 \\ -\left(x^{2}+7 x+12\right) & \text { si } & x^{2}+7 x+12<0\end{array}\right.\]

Hicimos lo mismo de antes: cambiamos \(x\) por el valor dentro del módulo. Para eso, tenemos que analizar los intervalos de la función. Lo que tenemos que hacer es analizar el signo del valor dentro del módulo para saber tanto cuando es positivo, como cuando es negativo, esos son los intervalos de la función. 

Para analizar el signo tenemos que realizar el gráfico de la función, 

 Tendremos

\[\text {Positivo si}  \space x \leq-4  \space \text{ o }  \space x \geq-3\]

\[\text {Negativo si} \space -4<x<-3\]

Por tanto, el módulo de la función cambiará según diga el intervalo que hallamos, positivo o negativo:

\[f(x)=\left\{\begin{aligned} x^{2}+7 x+12 & \text { si } x \leq-4  \text { o } x \geq-3 \ \\-\left (x^{2}+7 x+12\right) & \text { si } \space \quad-4<x<-3 \end{aligned}\right.\]

Es un poco extraño pero es la manera en la que se hace. 

Gráfico involucrando funciones modulares

No tiene mucha diferencia entre lo que hacíamos antes cuando tenemos una función que involucra modulares. 

El primer paso es separarla por la definición:

\[f(x)=\left|x^{2}+7 x+12\right|\]

Eso nos lleva a :

\[f(x)=\left\{\begin{aligned} &   \space \space \space  \space \space x^{2}+7 x+12  \space \space \space \space \space \text { si }  \space \space  \space \space  x \leq-4  \space \text { o } \space x \geq-3 \\&-(x^{2}+7 x+12)  \space \space \text { si } \space \space \space \   \space  \space -4<x<-3 \end{aligned}\right.\]

El resto es hacer el gráfico de las partes. Hagamos la parte positiva, es decir, \(x \leq-4\) o \(x \geq-3\).

Esa es una función de segundo grado, si fuera el intervalo completo el gráfico sería:

Pero la parte del medio entre \(-4\) y \(-3\) no está, por tanto, tenemos eliminarla:

Falta el pedazo del medio, el gráfico es igual al azul solo que todos los términos tienen el signo contrario, si fuera todo el intervalo sería:

Pero solo queremos la parte entre \(-4\) y \(-3\), así:

Juntando todo, el gráfico sería:

Dominio e Imagen

La presencia del módulo no afecta al dominio de la función, o sea, el dominio de una función polinómica, racional, exponencial o logarítmica será el mismo con o sin el módulo. 

Sin embargo, en la imagen tenemos cambios. Como el módulo hace que el valor siempre sea positivo, para la función más general \(f(x)=\mid x \mid \), tendremos:

\[\operatorname{Im}(f)=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0\}\]

O simplemente:

\[\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}_{+}\]

Por cierto…

La función modular es una “fórmula” matemática que nos evita problemas a la hora de calcular ciertas cosas, el ejemplo más clásico es cuando tenemos la raíz de un número al cuadrado:

\[\sqrt{x^{2}}\]

Normalmente pensarías, “Oh solo tenemos que “cortar” la raíz con el cuadrado que dará \(x\)”. Incorrecto, en realidad, el resultado es el módulo de \(x\). Esto es para que el resultado de una raíz siempre sea positivo, presta atención:

\[\sqrt{x^{2}}=|x|\]

Siempre necesitas el módulo, sino el cálculo podría salir mal.