Funciones Inyectivas, Sobreyectivas, Biyectivas e Inversas
Introducción
Anteriormente vimos que para que una variable dependiente \(y\) sea función de una variable independiente \(x\) es necesario que para cada valor de \(x\), solo exista un valor de \(y\) asociado.
Mientras que esa condición determina la existencia de la función, también existen otras condiciones que sirven para clasificar las funciones en algunas categorías: funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
Funciones Inyectivas
Observa el gráfico:
En esta función, para distintos puntos \(x_{1}\) y \(x_{2}\), tenemos un mismo valor asociado.
\[f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\]
Mientras, en esta:
Para distintos puntos \(x_{1}\) y \(x_{2}\), tenemos:
\[f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)\]
Se dice que una función \(f\) es inyectiva si para dos puntos cualquiera pertenecientes al dominio de \(f\):
\[x_{1} \neq x_{2}\]
Tendríamos:
\[f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)\]
Esa es una función inyectiva. En este tipo de función, siempre tenemos que dos valores distintos de \(x\), se implican en valores de \(y\) distintos.
Función Sobreyectiva
Observa el gráfico:
Esa parábola tiene una condición: posee un punto extremo. En este caso, ese punto es el punto mínimo de \(y=-1\).
Eso significa que no importa el valor de \(x\) que escojamos, siempre tendremos que:
\[f(x) \geq-1\]
Por tanto, la imagen de \(y\) estará limitada a todos los números reales mayores o iguales a \(-1\):
\[\operatorname{Im}(f)=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq-1\}\]
Mientras que el codominio no está limitado, sigue siendo:
\[C D(f)=\mathbb{R}\]
A pesar de eso, para una función cúbica:
Para todo valor de \(y \in C D\), siempre existe un \(y \in I m\) asociado, es decir, el conjunto imagen es igual a codominio.
\[\operatorname{Im}(g)=C D(g)\]
Se dice que una función \(f\) es sobreyectiva si para cada valor de \(y\) existe al menos un valor de \(x\) asociado.
\[y_{1} \rightarrow x_{1}\]
Este tipo de función es llamada función sobreyectiva:
Dentro de esta definición, la parábola tiene, por ejemplo \(y=-2\) no asociado a ningún valor de \(x\), por lo tanto, no es sobreyectiva.
Funciones Biyectivas
Se dice que una función \(f\) es biyectiva cuando para cada valor de la variable dependiente \(y\) existe un y solamente un valor de la variable dependiente \(x\) asociada.
La función biyectiva es al mismo tiempo una función inyectiva y sobreyectiva.
Función Inversa
Imagina que tenemos la función:
\[f(x)=y=2 x+1\]
En este caso, tenemos una función, porque cada valor de \(x\) está asociado a un único valor de \(y\), es decir, \(y\) es una función de \(x\).
¿Pero si en lugar de representar a \(y\) como función de \(x\), decimos que \(x\) es una función de \(y\)?
No es nada complicado, solo debemos despejar \(x\):
\[y=2 x+1 \Longrightarrow 2 x=y-1\]
\[g(y)=x=\frac{y-1}{2}\]
Si sustituimos \(x\) por \(y\) y \(y\) por \(x\), simplemente para mantener la notación habitual de las funciones:
\[g(x)=\frac{x-1}{2}\]
La función \(g(x)\) no es una función cualquiera, se trata de la función inversa de \(f\) y puede tener notación:
\[f^{-1}(x)=g(x)\]
Entonces, es así como obtenemos una función inversa.
Desafortunadamente, no todas las funciones tienen su inversa. Veamos, por ejemplo:
\[f(x)=y=x^{2}\]
Si intentamos despejar \(x\), obtenemos:
\[x=\sqrt{y}\]
Pero si:
\[x=\pm \sqrt{y}\]
Ese \(\pm\) indica que se generan dos funciones, una positiva (en azul) y otra negativa (en verde).
Esto ocurre, porque, para que una función sea invertible, es decir, para que una función tenga una inversa, es necesario que sea biyectiva.
El primer ejemplo es de una función biyectiva y, por tanto, tiene inversa, mientras que la parábola del segundo ejemplo no puede ser invertida usando solamente una función.
Al igual que las otras, la función inversa también es un tipo de función, por lo que necesita que cada valor de su variable independiente esté asociado a solamente un valor de la variable independiente.
Cuando despejamos \(x\) para hallar la inversa, ponemos \(x\) en función de \(y\), eso implica que un valor de \(y\) siempre necesite estar asociado a solamente un valor de \(x\). Esto no ocurre en la parábola del ejemplo, más sin embargo, es así para todas las funciones biyectivas.
Funciones inversas relevantes
A continuación veremos las funciones inversas más comunes, aquellas que usualmente nos topamos cuando estamos estudiando.
Una propiedad asociada a las funciones inversas es:
\[f\left(f^{-1}(x)\right)=x\]
Como, por ejemplo:
\[e^{\ln (x)}=x\]
Eso significa que una función con argumento igual a su inversa tiene como resultado el argumento de la inversa.
De esa forma, cuando tengamos una función con el argumento de la inversa, tendremos:
\[f\left(f^{-1}(g(x))\right)=g(x)\]
O, por ejemplo:
\[\operatorname{sen}\left(\operatorname{arcsen}\left(x^{2}\right)\right)=x^{2}\]
¿Vamos a practicar?
Hay un error?
Ir al Siguiente Capitulo: Inecuaciones
Todos los Resúmenes
