Inecuaciones

Ya conocemos las ecuaciones polinómicas, pero en caso de que no las recuerdes, son aquellas funciones del tipo:

\[x^{3}+x+3=0\]

Como puedes ver, se trata de una igualdad, pero ¿qué ocurre con las inecuaciones?

En el caso de las inecuaciones, en lugar de una igualdad (como en las ecuaciones), tenemos una desigualdad. Los términos están relacionados por los siguientes signos: \(>,<, \leq, \geq\).

Las inecuaciones se pueden clasificar según sus grados, en esta ocasión veremos las inecuaciones de primer y segundo grado. 

Inecuaciones de 1^er grado

En las inecuaciones de 1er grado, el exponente de \(x\) es \(1\), en general, tendrán la siguiente forma:

\[x+3>0\]

Cabe resaltar que la desigualdad puede ser cualquiera de estas: \(<, \leq, \geq\)

Resolviendo una inecuación de primer grado 

Para resolver una inecuación de primer grado, necesitamos encontrar los valores de \(x\) que satisfacen la condición de la inecuación: aislando \(x\).

\[x+3>0 \Longrightarrow x>-3\]

¿Fácil, no? Si trazamos la recta \(x+3\) en el plano cartesiano, tendremos:

Como queremos \(x+3>0\), los valores que satisfacen la ecuación son los que se encuentran en el área naranja del gráfico. 

Debes estar atento a esto: si \(x\) tuviera un coeficiente negativo, como en:

\[-x+1>0\]

Correctamente harás:

\[-x>-1\]

Pero debes recordar multiplicar por ambos lados por \(-1\), para finalizar con:

\[x>1\]

¡Eso es INCORRECTO!

Al cambiar el signo de la inecuación invertimos la desigualdad

De esa manera, al multiplicar por \(-1\), en realidad, obtenemos:

\[x<1\]

Inecuaciones de 2^do grado

En este caso, nos encontraremos con inecuaciones como esta:

\[x^{2}-5 x+6<0\]

Anteriormente aprendimos a resolver ecuaciones de 2do grado, debido a esto, sabemos que su gráfica siempre es una parábola. 

¿Bien, pero…, por qué eso sería importante?

Cuando tenemos una inecuación, cualquiera que sea, nos interesa saber en dónde será positiva o negativa.

¿Cómo vamos a resolver eso?

¡Vamos allá!

Paso 1

Encontrar las raíces

Es decir, vamos a hallar los valores donde la ecuación es cero. 

Para la ecuación del ejemplo, tendremos:

\[x^{2}-5 x+6=0\]

Las raíces para esa ecuación serán:

\[\boldsymbol{x}_{1}=2 \space \space \mathrm {y} \space \space \boldsymbol{x}_{2}=3\]

Esos son los puntos donde el gráfico se inclina en el eje \(x\).

Obs: cuando el valor de \(\Delta\) es negativo, la función será totalmente positiva o totalmente negativa. 

Paso 2

Determinar el crecimiento de la función

En este caso, como \(a>0\), la función será creciente.

Paso 3

Estudio de signos en el gráfico

Observa el gráfico del ejemplo. (No se necesita un gráfico demasiado perfecto, así que no te preocupes).

Lo que haremos es marcar en el gráfico los sitios donde la función es positiva o negativa. Nada complicado, lo que está arriba del eje \(x\), es positivo, lo que está debajo del eje \(x\), negativo.

A través de la imagen observamos que la función es \(<0\) (negativa) para los valores que están entre \(2\) y \(3\).

La solución es:

\[S=\{x \in \mathbb{R} \mid 2<x<3\}\]

También podemos representar la respuesta a través de intervalos reales, de la siguiente forma:

\[S=(2,3) \space \space o \space \space S=] 2,3[\]

Esos paréntesis o llaves indican que no está incluido ni el \(2\) ni el \(3\) en la solución. “¿Cuál de las dos representaciones utilizo?”

Queda a gusto del lector.

Las dos son correctas, pero utiliza la que sea de tu agrado. 

¿Y si tuviésemos \(\geq\) en lugar de \(<\) en la inecuación?

La solución incluirá los valores donde \(f(x)=y\) será igual a \(0\) (o sea, las raíces).

Si tuviéramos la siguiente inecuación, por ejemplo:

\[x^{2}-5 x+6 \geq 0\]

La respuesta, sería los valores en que \(y \geq 0\), es decir:

\[S=\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 2 \space o \space x \geq 3\}\]

En términos de intervalos reales, tendríamos:

\[S=]-\infty, 2] \space o \space [3,+\infty[\]

Atención, para incluir un número en la respuesta, ponemos el corchete hacia el lado donde está cerrado.

¡Vamos a los ejercicios!