Inecuaciones producto-cociente

Cuando hablamos de inecuaciones, tenemos un paso a paso de lo que se tiene que hacer:

1. Despejar todos los términos de la inecuación de un solo lado.

2. Hallar las raíces de la ecuación correspondiente

3. Trazar el gráfico para comprobar cuáles regiones satisfacen la condición de inecuación o probar valores en los intervalos formados por las raíces.

Ya sabemos que hacer con las inecuaciones, principalmente con las de \(1^{\circ}\) y \(2^{\circ}\) grado, pero…¿Y si estuviéramos haciendo el producto o el cociente de más de una ecuación? ¿Cómo podemos hacer inecuaciones para grados mayores? 

Inecuaciones producto

Este tipo de inecuación ocurre cuando tenemos un producto o división entre funciones de las que sabemos hacer el análisis de signos. 

Digamos que la inecuación es:

\[(3-x)(x+3) \geq 0\]

Tenemos una ecuación que es un producto de dos funciones de \(1^{\circ}\) grado.

El primer binomio es \((3-x)\) y el segundo \((x+3)\).

Utilizando lo que aprendimos, podemos construir una tabla de signos para cada una de esas funciones, haciendo el respectivo análisis de signo para cada uno. 

Según la función \(3-x\), observando el gráfico (haciendo el análisis de signos), tendremos:

Haciendo lo mismo para el otro monomio:

Para juntar a los dos, construiremos una tabla de signos.

Esa es la tabla de signos. En la esquina superior izquierda, escribimos la función que analizaremos. En las siguientes líneas, pero de la primera columna, escribimos las expresiones que componen esa función. 

Las demás celdas representan el signo en los intervalos. La celda a la derecha de \(-3\) indica valores mayores que este número. La celda entre \(-3\) y \(3\) indica valores en ese intervalo y, por último, la celda a la derecha de \(3\) indica valores mayores que \(3\). 

Los números \(-3\) y \(3\) no fueron escogidos al azar. Siempre son las raíces lo que se quiere analizar. 

Los signos de la primera función son:

Y de la otra:

Genial, para hallar el signo de la inecuación, debemos seguir la regla de los signos:

• Signos iguales \(\rightarrow+\)

• Signos diferentes \(\rightarrow-\)

Tenemos:

¡Eso es todo! Como queríamos resolver la inecuación:

\[(3-x)(x+3) \geq 0\]

Observando la tabla, tenemos que la solución es la parte que es positiva:

\[-3 \leq x \leq 3\]

Básicamente, eso es todo. 

Inecuaciones cociente

Cuando tenemos inecuaciones con cocientes, debemos seguir la misma lógica que en el caso anterior, la misma tabla. 

Puedes imaginar que los cocientes son productos. Por ejemplo, la siguiente inecuación:

\[\frac{3-x}{x+3} \geq 0\]

La única diferencia es que tenemos que quitar la \(\boldsymbol{x}\) que hace que el denominador dé \(0\). En este caso, \(x \neq-3\).

Entonces, la solución es casi la misma que la del caso anterior (\((x+3)(x-3) \geq 0\)), pues son las mismas funciones de \(1^{o}\) grado, pero sin \(-3\) incluido, porque este dejaría el denominador igual a \(0\).

Por tanto, la respuesta es:

\[-3<x \leq 3\]

Obs: siguiendo la lógica de la tabla de los signos. 

¿Y cuando no está todo despejado? Es exactamente donde debemos tener más cuidado: En la inecuación:

\[\frac{1}{x-2} \geq \frac{5}{x-1}\]

¿Y ahora, qué hacemos?

No puedes hacer producto cruzado, como en las ecuaciones, eso sería incorrecto. 

Para las inecuaciones, tenemos que pasar todo a un mismo lado y hacer M.C.M:

\[\frac{1}{x-2}-\frac{5}{x-1} \geq 0=>\frac{x-1-5 x+10}{(x-2)(x-1)} \geq 0\]

\[\frac{-4 x+9}{(x-2)(x-1)} \geq 0\]

Luego de ese procedimiento, podemos construir la tabla de signos. 

Tanto el producto como el cociente serán de mucha utilidad cuando estemos resolviendo inecuaciones de grados mayores (\(3^{\circ}\) y \(4^{\circ}\) grado, por ejemplo). Si tuviéramos, por ejemplo:

\[x^{3}-x^{2}-2 x>0\]

Podemos reescribir esta expresión como:

\[x\left(x^{2}-x-2\right)>0\]

Factorizar siempre es una buena opción 👍.