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Introducción a los Conjuntos

¡Bienvenidos! Espero que estén bien. ¡Comencemos!

 

Primero que nada, tenemos que pensar en los conjuntos como si fueran un filtro.

 

“¿Un filtro? WTF”

 

Así es, un conjunto no es más que un grupo de cosas (llamadas elementos) que comparten características entre sí.

Imagina esto: sí creamos un conjunto con todas las cosas que se encuentran en el refrigerador, ¿Cuales alimentos podrían formar parte de dicho conjunto? Podríamos decir: queso, jamón, leche, salchichas, etc.

 

¿Ves?  La diferencia es que ahora lo haremos con números.

 

Notación

 

Al igual que con los nombres (tienen que comenzar con mayúscula) los conjuntos también. Cuando nos referimos a un conjunto, debe ser denotado con una sola letra mayúscula:

 

\[\text {conjunto } A\]

 

Además, un conjunto puede contener objetos, esos objetos son llamados elementos. Cuando esos elementos no son números ni palabras, son representados por letras únicas y minúsculas.

 

 \[\text{elementos } a, b, c\]

 

Por último, tenemos que saber que un conjunto se presenta entre llaves y los elementos se separan por comas.

 

\[A=\{a, b, c\}\]

 

Representación por extensión, por enumeración y Diagrama de Venn

 

Como puedes notar por el título, existen tres formas de representar un conjunto.

 

Por extensión

 

Volvamos al conjunto del ejemplo, lo llamaremos \(P\):

 

\[P=\{\text {alimentos que están en la nevera}\}\]

 

Esa es la representación por extensión del conjunto: escribimos cuál es la característica de los elementos. 

 

En los ejercicios puede aparecer de esta manera:

 

\[A=\{x: x \geq 0 \text { y }x  \text { es par }\}\]

 

Esa \(x\) aparece para pensar en todos los números que puedan obedecer a eso de ahí. Lo leemos de la siguiente manera: 

 

\[A \text { es un conjunto formado por los elementos } x \text {, tal que } x \text { es un número par mayor o igual que }0\]

 

Por enumeración

 

Solo mira:

\[P=\{\text {queso}, \text { jamón, leche, salchicha,…}\}\]

 

Esa sería la representación por enumeración, estamos enumerando, exponiendo los elementos del conjunto:

 

En los ejercicios puede aparecer de esta forma:

 

\[A=\{0,2,4,6,8,10, \ldots\}\]

 

Diagrama de Venn

 

Y llegamos al diagrama:

 

Lo que hacemos es: dibujar un círculo, poner los elementos dentro, y colocar el nombre en mayúscula en el exterior, cerca del círculo.

 

En los ejercicios sería así:

 

Por supuesto, faltan muchos números, así que la respuesta no sería exactamente esa.

 

Conjuntos Finitos, Infinitos, Unitarios y Vacíos

 

Bueno, esta clasificación viene dada por la cantidad de elementos que posee el conjunto.

 

Conjuntos Finitos: poseen cantidad finita de elementos. 

 

\[A=\{x \mid x \text { es primo y } x<7\}=\{2,3,5\}\]

 

Conjuntos Infinitos: poseen cantidad infinita de elementos. 

 

\[A=\{x \mid x \geq 0 \text { y } x \text { es par}\}=\{0,2,4,6,8, \ldots\}\]

 

Conjuntos Unitarios: poseen solo un elemento.

 

\[A=\{x \mid x \text { es par y } x \text { es primo }\}=\{2\}\]

 

Conjuntos Vacíos: no poseen elementos y son representados por \(\{\}\) o \(\emptyset\).

 

\[A=\{x \mid x \text { es primo y } x<2\}=\{\}=\emptyset\]

 

Pertenece, está contenido y contiene

 

Wow, esta parte suele ser un poco confusa, pero tranquilo a partir de ahora entenderás la diferencia entre ellos.

 

Pertenece:

\[\text { notación}\in\]

 

Se utiliza cuando queremos ver si un ELEMENTO pertenece a un CONJUNTO. 

 

\[A=\{1,2,3,4\}\]

 

\[1 \in A\]

 

\[5 \notin A\]

 

\(5\) no pertenece al conjunto, entonces cortamos el signo de pertenecer. Mira el siguiente ejemplo.

 

\[B=\{0,1,\{2,3\}\}\]

 

\[0 \in B\]

 

\[2 \notin B\]

 

\[\{2,3\} \in B\]

 

Observe que un elemento de \(B\) es un conjunto y eso puede ocurrir. Es importante entender que en la última línea, decimos que el conjunto es un elemento de \(B\) y eso es verdad.

 

Está contenido:

\[\text {notación } \subset\]

 

Se utiliza cuando queremos ver si un CONJUNTO está contenido en otro CONJUNTO (si es subconjunto de un conjunto). Recordando que un subconjunto es un conjunto cuyos elementos pertenecen al otro conjunto. 

 

\[A=\{1,2,3,4,5,\{6,7\}\}\]

 

Por ejemplo, el conjunto \(\{1,2\}\) es un subconjunto de \(A\). Entonces podemos decir que:

 

\[\{1,2\}\subset A\]

 

\[\{2,3,4,5\}\subset A\]

 

\[\{6,7\}\notin A\]

 

\(\{6,7\}\) no es un subconjunto de \(A\), es un elemento. Un subconjunto sería por ejemplo \(\{2,\{6,7\}\}\)

 

Contiene:

\[\text {notación } \supset\]

 

Es utilizado cuando queremos ver si un CONJUNTO contiene otro CONJUNTO (subconjunto).

 

\[A\{1,2,3,4\}\space \space y \space \space B=\{1,2,3,4,5\}\]

 

\[B \supset A\]

 

OBS.: aquí te va un consejo, la letra que se encuentra del lado de las “piernitas” de esa \(c\) extraña es la que contiene a la otra que está del lado de la “barriguita”. No tienes que memorizar nada, basta con interpretar el símbolo, así: 

 

\[A \subset B\]

 

La \(B\) está del lado de las piernitas, entonces podemos decir que \(B\) contiene \(A\), así como también \(A\) está contenida en \(B\), porque \(A\) está del lado de la barriguita. Sin embargo, como la “barriguita” aparece antes que las “piernitas” es correcto decir que \(A\) está contenida en \(B\).

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