Introducción a las Funciones
¡Bienvenidos todos!
Llegó el ansiado momento de hablar sobre las funciones.
¿Que es una función?
Comencemos con un ejemplo. Imagina que vas a una cafetería a comer hamburguesas.
Si cada hamburguesa cuesta \(\$ 5,00\), la pregunta que surge es: ¿cuánto gastarías en función de la cantidad de hamburguesas que vas a comer?
Para cada cantidad de hamburguesas que comes, existe un precio correspondiente. Si llamamos a la cantidad de hamburguesas \(q\), entonces llamamos \(P(q)\) al precio a pagar en función de la cantidad de hamburguesas.
Si te comieras una hamburguesa, ¿cuánto pagarías? ¿cinco dólares? Según esta deducción podemos decir que:
\[P(1)=5\]
¿Perfecto? Bien, pero si fueras a comer dos hamburguesas, en total pagarías 10 dólares, ¿no? Nuevamente, usando la notación:
\[P(2)=10\]
Recuerda que para hallar el precio que vas a pagar, nada más tienes que multiplicar la cantidad de hamburguesas por el precio de la unidad. Eso nos dice que, para una cantidad \(q\), el precio será:
\[P(q)=5 q\]
Llamamos función a la relación general existente entre la cantidad y el precio.
Condición de una función
Bien, en el ejemplo vimos una función, pero… ¿cuál es su definición?
En el problema, nos encontramos con dos variables: la cantidad de hamburguesas \(q\) y el precio \(P\).
La cantidad de hamburguesas \(q\) es una variable de valor arbitrario, pues no depende de ninguna otra variable dentro del problema. Naturalmente, después de todo, Juan puede querer comer una hamburguesa. María, rompiendo su dieta, puede pedir dos y Pedro, que no ha comido, puede que quiera 3. En este sentido, llamamos a ese tipo de variable como variable independiente.
El precio \(P\) siempre depende de la cantidad \(q\), finalmente:
\[P=5 q\]
Es decir, el precio a pagar, DEPENDE de cuantas hamburguesas compres.
Este tipo de variable es llamada variable dependiente.
Para tener una función, necesitamos que el valor de \(P\), como el nombre sugiere, sea en función del valor de \(q\), o sea, necesitamos que el valor de \(P\) dependa del valor de \(q\).
Si el valor del precio depende de la cantidad, entonces no podemos tener diferentes precios para una misma cantidad, ¿verdad? Por tanto, para que sea una función, precisamos que solo exista un valor de \(P\) para cada valor de \(q\).
La función es una relación de dependencia entre dos conjuntos, estos no necesariamente deben ser numéricos…
Por ejemplo, cada persona posee un único grupo sanguíneo, siendo así, podemos pensar en una función que relacione a un conjunto de personas según su grupo sanguíneo, \(\{A, B, A B, O\}\).
Recuerda que RELACIONAMOS un conjunto con el otro y tienen una relación dependiente. En este caso, las personas dependen de un grupo sanguíneo, pero no al revés.
También podemos relacionar un grupo de personas de acuerdo con su equipo favorito, sin embargo, una persona puede tener más de un equipo favorito, por tanto, esa relación NO será una función.
En una función, para cada valor de x existe solamente un único valor de y asociado.
En el caso de la relación entre las personas y sus equipos de fútbol, una persona puede apoyar tanto al Flamengo como al Real Madrid, por ejemplo. Entonces, tendríamos algo así:
Ese es un ejemplo de una relación que no es una función. Para que sea una función, cada persona solo podría tener un único equipo.
A pesar de que estos ejemplos son divertidos, para entender realmente el concepto de una función tendremos que ver fórmulas.
Vamos a definir que es una función.
Dada una variable independiente \(x\) y una variable dependiente \(y\), decimos que \(y\) es función de \(x\)
\[y=f(x)\]
si y solamente si para cada valor de \(x\), existe un único valor de \(y\) asociado.
Es necesario señalar que esta definición aplica solo a las funciones de variable única, que son las que veremos por ahora.
Maneras de representar una función
Existen distintas maneras de representar una misma función. Cuando hablamos de hamburguesas, vimos que:
\[P(q)=5 q\]
Esa es la forma algebraica de una función. Entonces, para otras funciones, tenemos:
\[f(x)=x^{2} \quad g(z)=4 z \quad q(a)=5 a^{2}+4\]
Esta surge cuando tenemos una fórmula matemática para hallar el valor de una función según un valor dado de la variable independiente.
Cuando queremos una visión general del comportamiento de una función junto con la variación de su variable independiente, lo más recomendable es trazar un gráfico, es decir, representar gráficamente la función. Para la función \(f(x)=x+1\), por ejemplo:
En este caso, tenemos que la función es una recta en el gráfico. Pero no siempre es así, en el caso de una parábola:
\[f(x)=x^{2}+5\]
Donde:
Además, también podemos describir la función verbalmente, como veremos en el enunciado de los ejercicios:
“Una fábrica tiene una producción \((P)\) de 57 zapatos por hora \((h)\)”
\[P(h)=57 h\]
“Se suelta un objeto que cae libremente a partir de una posición inicial de referencia cero”
\[s(t)=-10 t^{2}\]
Existen más maneras, pero no las veremos en esta ocasión.
Dominio
Llegamos a la parte quizá más complicada (y confusa) para muchas personas. Pero eso no pasará contigo, presta atención.
Las hamburguesas son deliciosas, así que… ¿por qué no usarlas nuevamente como ejemplo? El encargado de la cafetería difícilmente te venderá media hamburguesa, por tanto, seguramente la cantidad de hamburguesas compradas será un número entero.
De la misma manera, no puedes tener una cantidad negativa de hamburguesas, entonces \(q\) siempre es entero, mayor o igual a cero.
Por tales razones, podemos decir que \(q\) pertenece al conjunto de los números naturales, o:
\[q \in \mathbb{N}\]
Este es el conjunto de todos los valores posibles para \(q\), que es la variable independiente del sistema. El conjunto de valores posibles para la variable independiente de una función es justamente el dominio de la misma. Por tanto, también podríamos escribir:
\[D\{P(q)\}=\mathbb{N}\]
Veamos otro ejemplo: imagina que la función fuera la posición \(s\), en kilómetros, de un automóvil en función del tiempo \(t\), en horas. Podríamos tener valores fraccionados para el tiempo, como \(1.5\) horas. En cuanto al signo, no tenemos tiempo negativo, ¿verdad?
Entonces, el dominio sería el conjunto de todos los números mayores o iguales a cero, enteros o no, es decir:
\[D\{s(t)\}=\mathbb{R}_{+}\]
Donde \(+\) indica que el conjunto está limitado a sus valores no negativos.
El dominio va a depender de lo que se esté trabajando. Existen infinitas formas de representar el dominio.
Restricción del dominio
Algunas funciones, como las polinómicas, que son aquellas con sumas de potencias naturales de \(x\) con coeficientes constantes como:
\[f(x)=x^{5}+3 x^{2}+1\]
No poseen restricción en el dominio, lo que significa que su dominio siempre será el conjuntos de los números reales.
Para otras funciones, el dominio no siempre será un conjunto completo, a menudo la variable independiente no podrá asumir ciertos valores en específico. ¿Cuáles serían esos valores?
Seguramente has escuchado que no puedes dividir nada por cero, pues lo mismo con las funciones. Lo puntos en donde se produce una división por cero no pertenecen al conjunto, porque generan indeterminaciones y singularidades.
De igual forma, como lo que hemos estudio está limitado a los números reales y sus subconjuntos, tampoco podemos tener la raíz cuadrada de un número negativo, pues que genera números complejos. Por tanto, puntos en donde aparece una raíz cuadrada no pertenecen al dominio. Presta atención:
Funciones racionales (funciones representadas por división de polinomios): valores para los cuales el denominador tiende a cero, no pertenecen al dominio. Como en:
\[f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-1}\]
Es decir,
\[x-1 \neq 0\]
\[x \neq 1\]
En \(x=1\), tenemos que la función está dividida por cero, entonces ese punto no forma parte del dominio, que será el conjunto de los reales sin incluir el \(1\).
\[D\{f(x)\}=\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1\}\]
Funciones con raíz cuadrada: valores para los cuales la raíz es negativa, no pertenecen al dominio. Como en:
\[f(x)=\sqrt{x-2}\]
Entonces:
\[x-2 \geq 0\]
\[x \geq 2\]
Todos los valores de \(x\) menores que \(2\) llevan a valores negativos dentro de la raíz, por tanto:
\[D\{f(x)\}=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}\]
Existen otras restricciones para el dominio de otros tipos de funciones, pero hablaremos de ellas en la teoría correspondiente.
Codominio
Mientras que el dominio está relacionado a la variable independiente, el condominio está relacionado a la variable dependiente. Se trata de todos los valores que la última puede asumir.
Dentro del ejemplo de automóvil, \({s}\) puede asumir varios valores: puede ser positiva cuando puede ser positiva después del referencial de la posición, cero en el referencial y negativa antes.
La variable tampoco podría ser entera, después de todo, el automóvil no va dando saltos kilómetro a kilómetro.
Entonces, el codominio para el ejemplo, sería igual a los números reales sin restricción:
\[C D\{s(t)\}=\mathbb{R}\]
Imagen
Este tema puede llegar a causar confusión, pues ambos, tanto codominio como imagen se refieren a la variable dependiente. Sin embargo, mientras que el codominio indica todos los valores que la variable puede asumir, la imagen indica todos los valores que asumirá.
Por ejemplo, piensa en el sueldo de un vendedor, que tiene una parte fija de \(\$ 1000\), más el \(1%\) de comisión de lo que venda. La función será:
\[f(x)=1000+\frac{1}{100} x\]
Donde: \(f(x)=y=\text {Salario}\)
\(x=\text {Venta mensual } (USD$)\)
En teoría, sabemos que el vendedor no puede ganar menos de \(\$ 1000\), aunque no haga ninguna venta durante el mes.
Eso significa que la imagen, es decir, los valores posibles para su salario serán:
\[\operatorname{Im}\{s(t)\}=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq 1000\}\]
\(y\) pertenece \(\in\) al conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\), tal que \((\mid) y\) sea mayor o igual a \(1000\).
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